Berechnen Sie eine Richtung (der Länge 1), in der die Höhenlinie verläuft, d.h.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie eine Richtung (der Länge 1), in der die Höhenlinie verläuft, d.h. in der die Richtungsableitung Null wird, der Funktion

f(x; y) = 2x^2y-x^2+2e^y
im Punkt P(x0/y0)=(1/0)

Problem/Ansatz:

ich habe ganz nach Protokoll die Ableitungen und damit den Vektor n gebildet sowie den Punkt eingesetzt:

Vektor n=\( \begin{pmatrix} 4xy-2x\\2x^2+2e^y \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} -2\\4 \end{pmatrix} \)

Jetzt muss ich ja meinen anderen gegebenen Vektor überprüfen ob dieser 1 ergibt oder nicht. Nur habe ich leider keinen gegeben. Ich Vermute anhand der Länge kann kann ich mir den selber bauen? ich Vermute mal irgendwie \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) oder\( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) ?

Answer 1

Aloha :)

Mit Hilfe des Gradienten kannst du die Funktion wie folgt annähern:$$f(x_0+dx;y_0+dy)= f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{dx}{dy}$$

Wenn wir die infinitesimale Änderung \(\binom{dx}{dy}\) so legen, dass sich die Funktion überhaupt nicht ändert (Richtungsableitung null), so ist \((x_0+dx;y_0+dy)=f(x_0;y_0)\) und wir können auf beiden Seiten der Gleichung \(f(x_0;y_0)\) subtrahieren:$$0=\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{dx}{dy}$$

Der gesuchte Vektor \(\binom{dx}{dy}\) steht also senkrecht auf dem Gradienten. Da wir einen Richtungsvektor angeben sollen, müssen wir ihn auf die Länge \(1\) normieren.

Wir brauchen also zuerst den Gradienten an der Stelle \((x_0;y_0)=(1;0)\):$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{\partial_x f(x;y)}{\partial_y f(x;y)}=\binom{4yx^{2y-1}-2x}{4x^{2y}\ln x+2e^y}\implies\operatorname{grad}f(1;0)=\binom{-2}{2}$$Wir können sofort zwei Vektoren mit Länge \(1\) angeben, die darauf senkrecht stehen:$$\vec v=\pm\frac1{\sqrt2}\binom{1}{1}$$

Comments

zugegebenermaßen habe ich leider einen fehler in der aufgabe gemacht: die funktion lautet 2yx^2 -x^2 +2e^y, wobei man dann ja nach einsetzten mein obiges ergebnis erhält.

der Lösungsweg ist ja anisch der gleiche (vektor bilden punkt einsetzten)

nud das mit dem annähern und wie man dann auf den anderen Vektor kommt habe ich leider noch immer nicht verstanden ;(