Aloha :)
Mit Hilfe des Gradienten kannst du die Funktion wie folgt annähern:$$f(x_0+dx;y_0+dy)= f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{dx}{dy}$$
Wenn wir die infinitesimale Änderung \(\binom{dx}{dy}\) so legen, dass sich die Funktion überhaupt nicht ändert (Richtungsableitung null), so ist \((x_0+dx;y_0+dy)=f(x_0;y_0)\) und wir können auf beiden Seiten der Gleichung \(f(x_0;y_0)\) subtrahieren:$$0=\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{dx}{dy}$$
Der gesuchte Vektor \(\binom{dx}{dy}\) steht also senkrecht auf dem Gradienten. Da wir einen Richtungsvektor angeben sollen, müssen wir ihn auf die Länge \(1\) normieren.
Wir brauchen also zuerst den Gradienten an der Stelle \((x_0;y_0)=(1;0)\):$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{\partial_x f(x;y)}{\partial_y f(x;y)}=\binom{4yx^{2y-1}-2x}{4x^{2y}\ln x+2e^y}\implies\operatorname{grad}f(1;0)=\binom{-2}{2}$$Wir können sofort zwei Vektoren mit Länge \(1\) angeben, die darauf senkrecht stehen:$$\vec v=\pm\frac1{\sqrt2}\binom{1}{1}$$
