Aufgabe:
Sei $$ a \in \mathbb{R} $$
Die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems soll bestimmt werden.
$$\begin{aligned} 3x+2z &= 1\\ -y+2z &= -1\\ ax + z &= 0 \end{aligned}$$
Problem/Ansatz:
Hallo ihr Lieben, ich habe versucht das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren zu lösen.
$$ \left ( \begin{array}{c c c | c} 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ a & 0 & 1 & 0 \end{array} \right ) $$
Um die Matrix auf die Stufenform zu bringen rechne ich III - a/3 mal I.
$$ \left ( \begin{array}{c c c | c} 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & \frac{-2a+3}{3} & -\frac{a}{3} \end{array} \right ) $$
III nach z auflösen.
$$\begin{aligned} \frac{-2a+3}{3} \cdot z = -\frac{a}{3} && \lvert \div \frac{-2a+3}{3} \\ z = \frac{a}{2a-3} \end{aligned}$$
II nach y aufgelösen mit z eingesetzt.
$$\begin{aligned} -y+2 \cdot z = -1\\ -y+2 \cdot \frac{a}{2a-3} = -1 && \lvert +1,\; +y\\ \frac{2a}{2a-3}+1=y\\ \frac{4a-3}{2a-3} = y \end{aligned}$$
I nach x auflösen mit y und z eingesetzt
$$\begin{aligned} 3x + 2z = 1&& \lvert -2z\\ 3x = 1-2z\\ 3x=1-2 \cdot \frac{a}{2a-3}\\ 3x=\frac{-3}{2a-3} && \lvert \div 3\\ x=\frac{-1}{2a-3} \end{aligned}$$
Ich bekomme nur sperrige Terme für x, y und z heraus. Was fehlt noch? Ist das, was ich raus habe schon die Lösungsmenge? Außerdem scheint a nicht den Wert 1,5 annehmen zu können.
