Gaußverfahren händisch lösen

Question

Kann mir jemand helfen beim Gaußverfahren? Ich komme garnicht damit klar, vorallem müssen wir es händisch ausfüllen.

Text erkannt:

1 Lösen Sie mit dem Gaußverfahren.
a)
\( \begin{aligned} 2 x_{1}+x_{2}-x_{3} & =-3 \\ x_{1}-x_{2}-3 x_{3} & =-7 \\ 3 x_{1}+x_{2}+x_{3} & =7 \end{aligned} \)
b)
\( \begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=5 \\ 3 x_{1}-x_{2}-2 x_{3}=-1 \\ -2 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=1 \end{array} \)
c)
\( \begin{aligned} 3 x_{1}+3 x_{2}-3 x_{3} & =9 \\ x_{2}-3 x_{3} & =-12 \\ 6 x_{1}+x_{2}-x_{3} & =18 \end{aligned} \)
d)
\( x_{2}-x_{3}=0 \)
\( \begin{array}{r} 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{2}+x_{3}=0 \end{array} \)
e)
\( \begin{array}{r} x+2 y+2 z=5 \\ 2 x+y+z=4 \\ 2 x+4 y+3 z=9 \end{array} \)
f)
\( \begin{array}{c} x+y+z=3 \\ 3 x+4 y+3 z=9 \\ 2 x+2 y+3 z=5 \end{array} \)

Comments

Tipp:

Nimm a,b, c statt den x mit Index.

a) addiere die 1. und die 2 Gleichung und die 2. und 3.

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das soll kein index darstellen

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Text erkannt:

\( 17.08 .23 \)
Nr.1.)a.)
\( \begin{aligned} 2 x_{1}+x_{2}-x_{3} & =-3 \\ x_{1}-x_{2}-3 x_{3} & =-7 \\ 3 x_{1}+x_{2}+x_{3} & =7 \end{aligned} \)
I.
\( \left(\begin{array}{ccc|c|c}x_{1} & x_{2} & x_{3} & -3 & 1 \cdot(-1) \\ 12 & -1-2 & -3 & -7 & 1 \cdot 2 \\ 3 & 1 & 1 & 7\end{array}\right)^{2-2-6}+ \)
\( \begin{array}{l} \left(\begin{array}{ccc|c} 2^{-6} & 1^{-3} & -1^{3} & -3^{9} \\ 0 & -3 & -5 & -11 \\ 3^{6} & 1^{2} & 1^{2} & 7^{14} \end{array}\right) \mid \cdot 2 c \\ \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & -3 & -5 & -11 \\ 0 & -1 & 5 & 23 \end{array}\right) \end{array} \)

Das ist mein Ansatz

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Die Aufgaben sind doch so gestrickt, dass sie einfach zu lösen sind.

Zum Beispiel die f):$$\begin{aligned} x+y+z&=3 &&(1)\\ 3 x+4 y+3 z&=9 &&(2)\\ 2 x+2 y+3 z&=5 &&(3)\end{aligned}$$

Subtrahiere das Dreifachen der ersten Zeile von der zweiten:$$(2) - 3\cdot (1) \implies y = 0$$Subtrahiere das Doppelte der ersten Zeile von der dritten:$$(3)-2\cdot (1) \implies z=-1$$und Einsetzen von \(y\) und \(z\) in die erste Gleichung gibt$$\implies x = 4$$

Bei e) läuft es ähnlich:$$\begin{aligned}x+2 y+2 z&=5 &&(1)\\ 2 x+y+z&=4 &&(2)\\ 2 x+4 y+3 z&=9 &&(3)\end{aligned} \\ 2\cdot (2) - (1) \implies 3x=3 \implies x = 1 \\ 2\cdot (1) - (3) \implies z=1$$usw.

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Welchen Vorteil soll Gauß haben?

Er doch nur die abstraktere Form des Additionsverfahrens.

Ob das immer schneller geht, bezweifle ich.

Er ist nur unanschaulicher.

Answer 1

Das ist komplett richtig.

Jetzt nimm deine neue dritte Zeile mal (-3) und addiere sie zu deiner neuen zweiten Zeile.

Comments

dankeschön!!!!! die

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Ist der Lösungsvektor richtig: 5 -3 4

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Probe gemacht? Mit welchem Ergebnis?

Answer 2

Manchmal ist es zweckmäßig nicht gerade x1 zuerst zu eliminieren.

2·x + y - z = -3
x - y - 3·z = -7
3·x + y + z = 7

I + II ; III + II

3·x - 4·z = -10
4·x - 2·z = 0

2II - I

5·x = 10 → x = 2

Jetzt rückwärts einsetzen

4·2 - 2·z = 0 --> z = 4

2·2 + y - 4 = -3 --> y = -3

Comments

Das hat ggT doch auch schon vorgeschlagen!

Selbstverständlich geht es so einfacher.

Ich vermute allerdings, dass die Aufgabe nicht primär gestellt wurde, um endlich mal dieses System gelöst zu bekommen.

Das ist eine Übungsaufgabe, mit der die Studiosi und Studiosinnen das Gauß-System üben sollen.

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Genau. Und dabei kann man ja gleich lernen, das man dabei nicht zwangsweise zuerst x1 eliminieren muss. Gauß war ein schlauer Kerl. Der hätte das gewusst und er hätte sich auch nicht zuviel Mühe gemacht, wenn es nicht unbedingt nötig ist.

Und wie ich sehe, ist es auch nicht immer schlecht ein Kontrollergebnis zum Vergleichen zu haben.

Answer 3

Da hast Du ja noch einiges zu tun.

Vielleicht kann

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/njtyusk8

 

Dir dabei helfen?

Wenn Du damit arbeiten willst kannst Du hier ggf. rückfragen...