Begründen, dass f genau ein lokales Maximum hat.

Question

Aufgabe:

$$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto -\frac{1}{4}e^{2x}+e^x+4$$

Es soll begründet werden, dass f genau ein lokales Maximum hat.

Problem/Ansatz:

das Maximum liegt bei (0,69 | 5), aber ich weiß nicht, wie ich begründen soll, dass f nur genau ein lokales Maximum haben kann.

Ich habe mir mal die Bestandteile der Funktion angesehen. e^x strebt gegen plus unendlich für x gegen unendlich und -1/4e^{2x} gegen minus unendlich. Diese beiden Bestandteile haben für sich genommen keine Extremwerte.

Die Funktion f muss als Zusammensetzung aus diesen zwei Bestandteilen also bis zu einem bestimmten Punkt wachsen und dann fallen. Es muss sich bei der Steigung ein Vorzeichenwechsel vollziehen und die Steigung der Funktion wird an dieser Stelle gleich 0 sein. Also müsste f einen Extremwert haben.

Was ich mir da aus den Fingern gesaugt habe klingt wenig überzeugend und mathematisch. Wie begründe ich richtig, dass f genau ein lokales Maximum hat?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Du kannst den Funktionsterm etwas umformen:$$f(x)=-\frac{e^{2x}}{4}+e^x+4=5-\left(\left(\frac{e^x}{2}\right)^2-e^x+1\right)=5-\left(\frac{e^x}{2}-1\right)^2$$Die Funktion ist am größten, wenn von der \(5\) am wenigsten subtrahiert wird, wenn also der quadratische Term gleich Null wird. Das passiert, falls \(e^x=2\), also bei \(x=\ln(2)\).

Rechnerisch kannst du das mit der Ableitung zeigen:$$f'(x)=-\left(\frac{e^x}2-1\right)\cdot e^x$$deren einizige Nullstelle bei \(x=\ln(2)\) liegt, weil der Faktor \(e^x>0\) für alle \(x\in\mathbb R\) ist.

Answer 2

du kannst das mit der Monotonie der E Funktion begründen. angenommen f hätte zwei lokale Maximas x und y x ungleich y, dann gilt f'(x)=0 und f'(y)=0, nach Termumformung gilt dann e^x =2 und e^y=2 und die E funktion streng monoton wachsend ist -> y=x also existiert nur ein lokales Maxima

Answer 3

f '(x) = 0

-1/2*e^(2x) + e^x = 0

-1/2*e^x*(e^x-2) = 0

e^x-2 =0

e^x = 2

x= ln2

einsetzen in f ''(x):

f ''(x)= -e^(2x) +e^x

f ''(ln2) = -e^(2*ln2) + e^(ln2) = -e^(ln2^2) + 2 = -4+2 = -2

falls f ''(x) >0 -> Maximum

Das ist das einzige Extremum.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-1%2F4*e%5E%282x%29%2Be%5Ex%2B4