Konvergieren diese 2 Funktionen?

Question

Aufgabe:

… Konvergieren diese Reihen

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \)  \( \frac{1}{x^n} \)

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) \( \frac{1}{2n+1} \)

Problem/Ansatz:

Ich komme bei beiden auf keine Lösung kann mir jemand das mal Zeigen ?

Comments

Was hast du denn bisher versucht?

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Beim ersten durch die Geometrische reihe, hab da aber jetzt durch die Lösung den fehler.

Un beim Zweiten mit dem QK und komme da auf \( \frac{1}{3} \) *1 bin mir aber nicht sicher ob das stimmt

Answer 1

Aloha :)

$$S_a=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{x^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{x}\right)^n$$

Wir erkennen die geometrische Reihe \(\sum\limits_{n=1}^\infty q^n\) mit \(q=\frac1x\), die für \(|q|<1\) konvergiert.

Hier liegt also Konvergenz für \(\left|\frac1x\right|<1\) bzw. \(\left|x\right|>1\) vor.

$$S_b=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2n+1}>\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2n+2}=\frac12\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}=\frac12\sum\limits_{n=2}^\infty\frac1n\to\infty$$Wir erkennen die harmonische Reihe, die bekanntlich divergiert.

Comments

Vielen Lieben dank :D ja jetzt check ich das bei der zweiten endlich

Answer 2

Die erste ist die geometrische Reihe mit q=1/x .

Die konvergiert für |1/x | < 1 also für |x| > 1.

Die zweite divergiert. Das ist ja die Summe der Kehrwerte

der ungeraden nat. Zahlen.

Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe divergiert auch die

Summe der Kehrwerte der geraden nat. Zahlen , also auch die

der ungeraden.

Answer 3

Zur ersten Reihe: Setze mal x=1 ein, dann siehst du, dass diese Reihe nicht konvergiert. Für x=2 konvergiert sie gegen 1. Interessant ist nun wohl die Frage, für welche x konvergiert die reihe und für welche nicht. (Gesucht ist also der Konvergenzradius dieser Potenzreihe.)