Näherungswert eines Taylors

Question

Aufgabe:

T2(x) einen Näherungswert für \( \sqrt[3]{e} \) => T2 = 1-\( \frac{x^2}{2} \)

Problem/Ansatz:

… Kann mir jemand erklären wie das Funktioniert ? Am Liebsten mit der Rechnung

Comments

Hallo,

verwende Eure Formel für das Taylor-Polynom zu einer Funktion f mit folgenden Daten:

$$f(x)=\exp(x), x_0=0, x=\frac{1}{3}$$

Gruß Mathhilf

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@M: Wie kommst du denn damit auf das zu verwendende T2?

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Naja, ich habe mal als Aufgabe herausgelesen, dass ein Näherungswert für \(\exp(1/3)\) mit Hilfe des Taylorpolynoms T_2 zu bestimmen ist. Wenn das getan ist, ergeben sich neue Fragen zur Formulierung der Aufgabe.

Alternativ kann man den Fragesteller auch bitten, seine Aufgabenstellung zu überprüfen- sprachlich und fachlich.

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Ermitteln Sie unter Verwendung von T2 (x) einen Näherungswert für 3 \( \sqrt[3]{e} \)  (Ergebnis als Bruch angeben).

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Okay, stell mal ein Foto der gesamten Aufgabe, ggf. auch mit den zugehörigen Aufgabenteilen davor, ein.

Answer 1

Guten Morgen. Wie man die Aufgabe systematisch löst, würde mich auch interessieren. Ich habe mit ein paar kleinen Überlegungen in Verbindung mit Ausprobieren diese Lösung gefunden: $$\exp\left(\dfrac{-x^2}{2}\right),\quad x_0=0$$

Answer 2

Aloha :)

Du kannst entweder die Definition der \(e^x\)-Funktion über eine Potenzreihe heranziehen:$$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}$$oder die Taylor-Reihe bis zur zweiten Ordnung um \(x_0=0\) herum entwickeln:$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)+\frac12f''(x_0)\cdot(x-x_0)^2$$$$\phantom{f(x)}=f(0)+f'(0)\cdot x+\frac12f''(0)\cdot x^2$$$$\phantom{f(x)}=e^0+e^0\cdot x+\frac12e^0\cdot x^2$$In beiden Fällen erhalten wir als Näherungsformel:$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}$$

Wegen \(\sqrt[3]{e}=e^{1/3}\) gilt daher die Näherung:

$$\sqrt[3]{e}=1+\frac13+\frac12\left(\frac13\right)^2=1+\frac13+\frac1{18}=\frac{18}{18}+\frac{6}{18}+\frac1{18}=\frac{25}{18}$$