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Die Potenzreihe lautet:$$f(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{6^k-1}{k^2(x-2)^{2k}}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{6^k-1}{k^2}\cdot\left(\frac1{(x-2)^2}\right)^k$$
Ihr Konvergenzradius \(r\) ist der Grenzwert für \(k\to\infty\) von:
$$\frac{a_k}{a_{k+1}}=\frac{\frac{6^k-1}{k^2}}{\frac{6^{k+1}-1}{(k+1)^2}}=\frac{(6^k-1)(k+1)^2}{k^2(6^{k+1}-1)}=\frac{(k+1)^2}{k^2}\cdot\frac{6^k-1}{6\cdot6^k-1}$$$$\phantom{\frac{a_k}{a_{k+1}}}=\left(\frac{k+1}{k}\right)^2\cdot\frac{\frac{1}{6^k}(6^k-1)}{\frac{1}{6^k}(6\cdot6^k-1)}=\left(1+\frac1k\right)^2\cdot\frac{1-\frac1{6^k}}{6-\frac1{6^k}}\to(1+0)^2\cdot\frac{1-0}{6-0}=\frac16$$Der Konvergenzradius ist also \(r=\frac16\).
Die Potenzreihe konvergiert also für:$$\left|\frac{1}{(x-2)^2}\right|<\frac16\implies(x-2)^2>6\implies\left\{\begin{array}{l}x-2>+\sqrt6\\x-2<-\sqrt6\end{array}\right.\implies\left\{\begin{array}{l}x>2+\sqrt6\\x<2-\sqrt6\end{array}\right.$$
Nachtrag:
Du hast es zwar nicht geschrieben, aber vermutlich sollst du auch die Konvergenz am Rand des Konvergenzbereichs prüfen. Für \(x=2\pm\sqrt6\) lautet die Funktion:$$f(2\pm\sqrt6)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{6^k-1}{k^2}\cdot\left(\frac16\right)^k=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1-\frac1{6^k}}{k^2}<\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$$Also konvergiert die Funktion auch am Rand der Konvergenzradius.
