Aloha :)
Wir vereinfachen die Situation, indem wir die Symmetrie ausnutzen. Wir brauchen nur die Fläche des Viertel-Kreises rechts oben zu bestimmen und das Ergebnis mit 4 zu multiplizieren. Das hat den großen Vorteil, dass wir nur den Fall berechnen müssen, in dem sowohl \(x\) als auch \(y\) postitiv sind.
$$F=4\cdot\!\!\!\!\iint\limits_{\text{Viertelkreis}}\!\!\!dx\,dy$$
Zur Beschreibung dieses Viertel-Kreises können wir zunächst \(x\) aus dem Intervall \([0;R]\) frei wählen. Halten wir dieses \(x\) fest, können wir von \(y=0\) aus bis zu \(y=\sqrt{R^2-x^2}\) nach oben laufen, bevor wir an den Rand des Kreises stoßen. Die Integrationsintervalle sind also:$$x\in[0;R]\quad;\quad y\in[0;\sqrt{R^2-x^2}]$$
Damit können wir das Integral für die Fläche formulieren:$$F=4\int\limits_{x=0}^R\int\limits_{y=0}^{\sqrt{R^2-x^2}}dx\,dy=4\int\limits_{x=0}^R\left(\int\limits_{y=0}^{\sqrt{R^2-x^2}}dy\right)dx=4\int\limits_0^R\left[y\right]_{y=0}^{\sqrt{R^2-x^2}}dx=4\int\limits_0^R\sqrt{R^2-x^2}\,dx$$Das verbliebene Integral ist als Hilfestellung angegeben:
$$F=4\left[\frac x2\sqrt{R^2-x^2}+\frac{R^2}{2}\arcsin\frac xR\right]_{x=0}^R$$$$\phantom{F}=4\cdot\left(\left(\frac R2\underbrace{\sqrt{R^2-R^2}}_{=0}+\frac{R^2}{2}\underbrace{\arcsin\frac RR}_{=\arcsin1=\frac\pi2}\right)-\left(\underbrace{\frac 02}_{=0}\cdot\sqrt{R^2-0^2}+\frac{R^2}{2}\underbrace{\arcsin\frac 0R}_{=0}\right)\,\right)$$$$\phantom{F}=4\cdot\left(\,\left(0+\frac\pi4R^2\right)-\left(0+0\right)\,\right)=4\cdot\frac\pi4R^2=\pi R^2$$
