\((1+i)^{2(-1-i)}=(1+i)^{-2}\cdot(1+i)^{-2i} \)
\((1+i)^{-2} =-0,5i\)
Mit Hilfe von Wolframalpha:
\((1+i)^{-2i} =(-0,5i)^i\\ \approx 3,7004-3,0737i\)
\((1+i)^{2(-1-i)}=-0,5i\cdot (-0,5i)^{i}\\ \approx-1,53685-1,85020i\)
Warum ist das so?
\(i=e^{i\pi/2}\\ i^i=e^{-\pi/2}\\(-i)^i=e^{\pi/2}\\ (-1)^i=e^{-\pi}\)
Bleibt noch
\(0,5^i=(e^{\ln0,5})^i=e^{i\ln0,5}=\cos(\ln 0,5)+i\sin(\ln 0,5)\)
Also:
\((1+i)^{2(-1-i)}=-0,5i\cdot (-0,5i)^{i}\\=-0,5i\cdot(-i)^i\cdot0,5^i\\=-0,5i\cdot e^{\pi/2}\cdot(\cos(\ln 0,5)+i\sin(\ln 0,5))\\=0.5e^{\pi / 2}(\sin (\ln (0.5))-i\cos (\ln (0.5))) \\ \approx -1.53685-1.85020 i \)
:-)
