Berechnung einer Matrix A in Abhängigkeit von a

Question

Gegeben seien im \( \mathbb{R}^{3} \) die Vektoren

\( v_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad v_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \)

a) Zeigen Sie, dass \( \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) ist.

b) Finden Sie eine Abbildung \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, F(x)=A x \) mit

\( F\left(v_{1}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ \alpha+6 \end{array}\right), \quad F\left(v_{2}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \alpha+4 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad F\left(v_{3}\right)=\left(\begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 6 \end{array}\right) \)

für \( \alpha \in \mathbb{R} \) und berechnen Sie die darstellende Matrix \( A \) in Abhängigkeit von \( \alpha . \) Ist die Matrix A eindeutig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ansatz/Problem:

a) habe ich
b) weiß ich nicht was sie meinen

Einzige Idee die ich hatte war sowas wie (v1,v2,v3) = (3 1 a + 6,2 1 a + 4, 5/2 1/2 6) , bekomm aber nichts gescheites raus.

Answer 1

Ich hätte es so probiert

Mit $$ V =   \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1  & 1 \end{pmatrix} $$ und $$ B(\alpha) =  \begin{pmatrix} 3 & 2 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & \frac{1}{2} \\ \alpha + 6 & \alpha + 4 & 6 \end{pmatrix} $$ muss gelten

$$ A \cdot V = B(\alpha) $$ also $$ A = B(\alpha) \cdot V^{-1} $$ falls \( V \) invertierbar ist.

Comments

genau so meinte ich dass auch nur wieso wird V zu V^-1 ?

weil man es um es auf die rechte seite zu bekommen teilen muss also B(a)/V,

was B(a) *  V^-1 wäre ?

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Matrizen kann man nicht teilen, sondern nur die Inverse bilden. Hier muss man von rechts mit \( V^{-1} \) multiplizieren, dann bekommt man das Ergebnis.

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ahh stimmt und wie löst sich den das V links auf ?

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Wie gesagt, \( V^{-1} \) bestimmen und von rechts die Gleichung mit \( V \) multiplizieren.