Lineare Abhängigkeit und Kern + Basis bestimmen

Question

Moinsen ich stehe gerade total auf dem LA Schlauch ich weiß wie Man Lineare Un(abhängigkeit) checkt aber verstehe nicht wie ich das Prinzip auf Aufgabe 1 anwenden soll warscheinlich hilft mir da schon ein kleiner Hinweis bzw ein erstes Beispiel

und zur zweiten Aufgabe da bin ich bis zur Auflösung des LGS gekommen das ich die Fom hatte (1 1 2 1 | 0)                                                                                                                                                                                    (0 2 2 -1 | 0)                                                                                                                                                                                    (0 0 0 0 | 0 )

und danach wusste ich leider nicht mehr weiter :(

Aufgabe \( 1 . \quad \) (1 Punkt)
Untersuchen Sie die Folge \( \left(\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}5 & 6 \\ 7 & 8\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}9 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 5 & 6\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}7 & 8 \\ 9 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}4 & 7 \\ 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 8 \\ 1 & 5\end{array}\right)\right) \) auf lineare Unabhängigkeit.
Aufgabe 2. (4 Punkte)
Bestimmen Sie Basen für \( \operatorname{Bild}(A) \) und für \( \operatorname{Kern}(A) \), wobei
\( A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & 4 \\ 4 & -4 & 0 & 8 \end{array}\right) \)

Answer 1

1) Überlege dir, wie viele linear unabhängige Matrizen man maximal braucht, um sämtliche 2x2-Matrizen erzeugen zu können. Welche Dimension hat also der VR der 2x2-Matrizen? Jetzt kann man ausnutzen, dass hier deutlich mehr Matrizen angegeben sind als die Dimension des VRs. Deshalb muss die Folge der Matrizen linear abhängig sein. Man darf sich hier auch einmal überlegen, warum die Aufgabe nur einen Punkt gibt: man kann es eben sofort sehen.

2) Du hast eine Nullzeile. Das bedeutet, die Dimension des Kerns ist 1. Man kann dann sehr leicht einen Basisvektor für den Kern angeben. Übrigens: Spalte 1 + Spalte 2 = Spalte 3. Was folgt dann nach Dimensionsformel für die Dimension des Bildes? Eine Basis des Bildes liefern dir dann die linear unabhängigen Spalten der Matrix.