Zeigen Sie, dass die Verkettung zweier linearer Funktionen wieder eine lineare Funktion ist.

Question

Aufgabe:

a) Bilden Sie für die Funktionen u, v und w mit u(x) = 2x - 1, v(x) = -x + 2, w(x) = 3x - 2 die Verkettungen u∘v, v∘u, u∘w und w∘u.

b) Zeigen Sie, dass die Verkettung zweier linearer Funktionen wieder eine lineare Funktion ist.

c) Kann man f+r den Parameter a so bestimmen, dass f∘g = g∘f ist?

d) Was muss für die Parameter zweier linearer Funktionen gelten, sodass u∘v = v∘u gilt?

Problem/Ansatz:

a) u∘v = 2*(-x + 2) = -2x + 4

v∘u = -(2x-1) + 2 = -2x + 1 + 2 = -2x + 3

u∘w = 2*(3x-2) - 1 = 6x - 5

w∘u = 3*(2x - 1) - 2 = 6x - 5

b) f(x) = m * x + c

f(x) = 4x + 6

g(x) = 5x + 4

f∘g = 4*5x + 6 + 4 = 20x + 10

f(g(x)) ist eine lineare Funktion wie f(x) und g(x)

c)

f ∘ g = 9*(3x + a) + 2 = 27x + 9a + 2

g * f = 3*(9x + 2) + a = 27x + 6 + a

27x + 9a + 2 = 27x + 6 + a                | - 27x

9a + 2 = 6 + a                                    | - 2   | - a

8a = 4                                                | :8

a = 1/2

d) Die Steigung muss immer das Doppelte von der anderen Funktionssteigung sein und der Parameter a muss ein Viertel von der Funktion mit der doppelten Steigung sein.

Answer 1

Hallo :-)

a) \((u\circ v)(x)=2(-x + 2) - 1=-2x+3=-(2x-1)+2=(v\circ u)(x)\)

Der Rest stimmt.

b) hast du nur an einem konkreten Beispiel gezeigt. Du musst es allgemeiner formulieren. Zwei beliebige lineare Funktionen lauten:

\(f:\ \mathbb{R}\to \mathbb{R},\ x\mapsto a\cdot x+b\) und \(g:\ \mathbb{R}\to \mathbb{R},\mapsto c\cdot x+d\). Und jetzt bilde ich mal die folgende Verkettung \(f\circ g\): Für alle \(x\in \mathbb{R}\) ist

$$ (f\circ g)(x)=f(g(x))=a\cdot g(x)+b=a\cdot (c\cdot x+d)+b=a\cdot c\cdot x+a\cdot d+b\\=(a\cdot c)\cdot x+(a\cdot d+b), $$

was der Form beider linearen Funktionen \(f\) bzw \(g\) entspricht.

c) hast du offenbar nicht vollständig formuliert, da diese Aufgabenstellung keinen Sinn ergibt.

d) Was ist dein Parameter \(a\)? Versuche doch mal wie in b) mit zwei beliebigen linearen Funktionen \(f:\ \mathbb{R}\to \mathbb{R},\ x\mapsto a\cdot x+b\) und \(g:\ \mathbb{R}\to \mathbb{R},\mapsto c\cdot x+d\) zu argumentieren, indem du mal \(f\circ g=g\circ f\) betrachtest und so die Parameter die linearen Funktionen bestimmst.

Answer 2

u ( x ) = a * x + b
v ( x ) = c * x + d
u o v
( a x + b ) * c + d
a * c * x + b * c + d

Ersetzen
a* c = e
b * c = f
e * x + f + d
ist eine lineare Funktion