Probleme mit der PQ-Formel und dem VZW-Kriterium beim Berechnen von Extremstellen

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion g(x)= x^3 - 8x^2 + 16x

Bestimmen sie rechnerisch die Extrempunkte des Graphen.

…

Problem/Ansatz:

Ich habe die erste Ableitung g‘(x) gebildet und die Notwendige Bedingung g‘(x)=0 angewendet. Ich habe danach die PQ Formel aufgestellt und alles durch 3 geteilt, da ich 3 vor meinem x^2 hatte. Nun ist mein problem das mein X1= 3,9 ist und mein X2= 1,4 ist. Ich habe versucht das Vorzeichenwechselkriterium anzuwenden, aber nur 1,4 hat als Extremstelle funktioniert.

Answer 1

g(x) =  x^3 - 8·x^2 + 16·x

g'(x) =  3·x^2 - 16·x + 16

Extrempunkte g'(x) = 0

3·x^2 - 16·x + 16 = 0

x^2 - 16/3·x + 16/3 = 0

Du rechnest bereits ungenau, wenn du statt Brüche hier gerundete Dezimalzahlen benutzt. Mit Brüchen rechnet sich das generell einfacher. Sowohl im Kopf auch mit dem Taschenrechner.

pq-Formel

x = 8/3 ± √(64/9 - 16/3) = 8/3 ± 4/3

x1 = 4/3 ; x2 = 4

Da man eine nach oben geöffnete Parabel hat hat die erste Nullstelle ein VZW von + zu - und die zweite Nullstelle ein VZW von - nach +.

Answer 2

Die Nullstellen der ersten Ableitung sind x₁=\( \frac{4}{3} \) und x₂=4.

Answer 3

g(x)= x^3 - 8x^2 + 16x

g´(x)=3x^2-16x+16

g´´(x)=6x-16

Extrema: g´(x)=0

3x^2-16x+16=0

x₁=4      g(4)= 4^3 - 8*4^2 + 16*4=0

x₂=\( \frac{4}{3} \)        g(\( \frac{4}{3} \))≈50

Art des Extremum:

g´´(4)=6*4-16=8>0 Minimum

g´´(\( \frac{4}{3} \))=6*\( \frac{4}{3} \) -16=-8<0 Maximum

Comments

g(4/3) ≈ 50
kleiner Fehlerhinweis
g(4/3) ≈ 9.48
mfg Georg

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@georgborn: Danke dir. Das ist natürlich ein dummer Fehler von mir!

Vorzeichenwechselkriterium:

Bezüglich  x₁=4    Berechne die Steigung bei x=3,9 und bei x=4,1.

Bezüglich x₂ = \( \frac{4}{3} \)   Berechne die Steigung bei x=1  und bei  \( \frac{5}{3} \)

Was stellst du fest? Welche Aussagen kannst du nun bezüglich der beiden Extremwerte machen?

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Gräme dich nicht allzulang ob des Fehlers.
Nimm lieber einen guten Kalenderspruch

Wenn du es eilig hast dann gehe langsam.

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Ein guter Spruch!

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Dann noch einen

Wer allem gegenüber offen ist
kann nicht ganz dicht sein.

Answer 4

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Bei solchen Aufgaben kann man manchmal direkt zu Anfang entscheidende Vereinfachungen vornehmen. Hier kannst du den Funktionsterm direkt faktorisieren:$$f(x)=x^3-8x^2+16x=x(x^2-8x+16)=x(x-4)^2$$

Damit erhältst du als erste Ableitung mit der Produktregel$$f'(x)=(x-4)^2+2x(x-4)=(x-4)\cdot(\;(x-4)+2x\;)=(x-4)(3x-4)$$und kannst die Nullstellen der ersten Ableitung bequem ablesen:$$x_1=4\quad;\quad x_2=\frac43$$

Die Art der Extrema kannst du mit der zweiten Ableitung prüfen, die wieder mit der Produktregel folgt:$$f''(x)=(3x-4)+3(x-4)$$Wir setzen die Kandidaten von oben ein und bestimmen die Vorzeichen:$$f''\left(\frac43\right)=3\left(\frac43-4\right)<0\implies\text{Max}\quad;\quad f''(4)=3\cdot4-4>0\implies\text{Min}$$