Aloha :)
Das macht man am besten gar nicht mit der partiellen Integration, sondern mittels Substitution. Das erkennt man daran, dass der Faktor \(4x\) die Ableitung des Expontenten \(2x^2\) des Exponentialfunktion ist.
Substituiere wie folgt:$$u(x)\coloneqq 2x^2\implies\frac{du}{dx}=4x\implies dx=\frac{du}{4x}$$dann kürzt sich genau dieser Faktor \(4x\) heraus:$$\int4x\,e^{2x^2}dx=\int4x\,e^u\,\frac{du}{4x}=\int e^u\,du=e^u+\text{const}=e^{2x^2}+\text{const}$$