unstetige Funktion, Grenzwert?

Question

Halli Ich habe 4 Aufgaben gegeben, von denen ich bei einer nicht so ganz weiß, wie ich vorgehen soll. Hier die Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die Grenzwerte der folgenden Funktionen für x ↦ u, sofern sie existieren.

b) b(x) = 3x + 2,  für x < 3
              4x + 1,  für x ≥ 3,   u = 3

Also die Funktion ist zwar nicht stetig im Punkt u, aber trifft da jetzt ein Grenzwert zu? Ich dachte eher an obere und untere Grenze...die Aufgabe liegt für mich wohl irgendwie in einer sprachlichen Grauzone.

Was meint ihr, wie ich vorgehen soll?

Liebe Grüße

Answer 1

Grob gesagt gilt: Ein Grenzwert von b ( x ) an der Stelle x = x0 existiert dann, wenn der linksseitige und der rechtseitige Grenzwert von b ( x ) an der Stelle x0 existiert und beide gleich sind. Das ist vorliegend für x0 = u = 3 nicht der Fall, denn:

$$\lim _{ x\nearrow 3 }{ b(x)= } 11$$aber$$\lim _{ x\searrow 3 }{ b(x)= } 13$$

Es existieren zwar sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert, sie sind jedoch verschieden, also existiert der Grenzwert von b ( x ) an der Stelle 3 nicht und kann daher auch nicht bestimmt werden.

Comments

Danke JotEs für deine Antwort,

also ist es (für den Grenzwert) auch unerheblich, dass x an der Stelle u (= 3) nur durch '4x + 1' definiert ist?

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...auch unerheblich, dass b ( x )  an der Stelle...

Das ist richtig.

Allerdings: Die Stelle x0 = 3 liegt ja durchaus im Definitionsbereich von b(x).

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Super, danke für deine Hilfe :)

Liebe Grüße