Berechne alle Lösungen in der Polarkoordinatenform von Z^4-81=0

Question

Aufgabe:

Berechne alle Lösungen in der Polarkoordinatenform von Z^4-81=0

Problem/Ansatz:

Also zunächst wollte ich r berechnen:

r=\( \sqrt{x^2+y^2} \)  für x=81 und y=0

r=81

anschließend den Winkel mit der Formel: arccos(\( \frac{x}{r} \))=Winkel°

Das wäre ja dann arccos(\( \frac{81}{81} \)) also arccos(1)=0°

und hier liegt der Hund begraben. Irgendwas habe ich sicherlich falsch gemacht.

Ich könnte ja auch die tangens funktion nehmen also arctan(\( \frac{y}{x} \)) = arctan(\( \frac{0}{81} \)) =0

Nur bei arctan muss man ja noch den quadrant mit einberechnen nur bei x>0 und y nicht gegeben, kann es sowohl 1Q also pi/2 sein oder 4 Quadrant = 2pi?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Vierte Wurzel Imarginärteil

Stichworte: komplex,wurzeln

∈
Aufgabe:

Gesucht: alle vierten Wurzeln aus z = 81 ∈ C

Problem/Ansatz

Vierte Wurzel mit positivem Imarginärteil ?

Vierte Wurzel mit negativem Imarginärteil ?

wie gehe ich hier vor ? Was ist die Lösung ?

Danke :)

---

Die Aufgabe gab es vor ein paar Tagen schon einmal.

https://www.mathelounge.de/866196/berechne-alle-losungen-in-der-polarkoordinatenform-von-81

:-)

Answer 1

Hallo

 1=e^0+k*i*2π

um die 4  verschiedenen Wurzeln zu finden, musst du k von 0 bis 3 laufen lassen, Den Winkel prüft man am besten , indem man die Zahl in der Gaußschen Zahlenebene einzeichnet, dann sieht man, dass 0 richtig ist, da ja 81 auf der reellen Achse liegt, und dass man dazu beliebig oft 2π oder 360° addieren kann sollte dir klar sein,

Gruß lul

Answer 2

z^4 - 81 = 0
z^4 = 81
z^4 = 81·e^(i·(0 + k·2pi))
z = 3·e^(i·(0 + k·2pi)/4)
z = 3·e^(i·(k·1/2·pi))

z1 = 3·e^(i·0) = 3
z2 = 3·e^(i·1/2·pi) = 3·i
z3 = 3·e^(i·pi) = - 3
z4 = 3·e^(i·3/2·pi) = - 3·i

Comments

Vielen Dank erstmal, heißt das die Formel lautet in Exponentialform r*e^(i*(\( \frac{k}{2} \)pi) oder nur für diese aufgabe? und warum ist r=3? also ja vermutlich weil die vierte wurzel aus 81=3 ist. Das heißt ich kann r=\( \sqrt{x^2+y^2 } \) nicht nehmen? (wäre ja 81)

und wenn ich das ganze in polarkoordinatenform machen soll dann lautet meine formel ja:r*cos\( \frac{phi+k*2pi}{n} \)+i*sin\( \frac{phi+k*2pi}{n} \) oder nicht?

nur wie kriege ich da mein phi raus?

also wenn ich für r=3 den winkel errechne mit arccos\( \frac{x}{r} \) erhalte ich ja arccos(27) was nicht geht? @lul hat oben geschrieben, dass der winkel 0° sind, ich verstehe das also alles nicht. und wie komme ich jetzt an mein Phi ran?

Answer 3

Hallo,

z^4=81 hat doch schon zwei reelle Lösungen, nämlich +3 und -3.

Also weißt du, dass r=3 ist.

Wenn du außerdem weißt, dass i^4=1 ist, müsste klar sein, dass 3i auch eine Lösung ist.

Wenn du die bisherigen Ergebnisse in eine Gauß'sche Ebene zeichnest, siehst du, dass die vierte Lösung -3i ist.

Mit Polarform:

z=r*e^{iφ}

z^4=r^4*e^{i*4φ}=81*e^{i*n*2π}

--> r^4=81 → r=3

--> 4*φ=n*2π --> φ=n*π/2

Wenn du jetzt für n ganze Zahlen einsetzt, erhältst du vier verschiedene Werte für den Winkel.

:-)

Comments

hallo nochmal,

ich verstehe immer noch nicht wie ich an mein Phi komme also r ist jetzt klar aber lautet die allgemeine Formel: n*phi=k*2pi?

Ich habe in der Formelsammlung die formel Winkel°=arccos(\( \frac{x}{r} \) und mit dem Winkel kann ich ja dann über die Formel \( \frac{Winkel°}{57,296} \)=phi das bogenmaß berechnen. Nur leider funktioniert das nicht: arccos\( \frac{81}{3} \)= undefiniert. Ich habe einfach 100 formeln und nie weiß ich welche richtig ist.

---

Hallo,

wenn du z^4 rechnest, wird doch der Winkel φ von z mit 4 multipliziert, also 4φ

Da das Ergebnis 81 eine reelle Zahl ist, ist der Winkel von z^4 gleich 0° oder 360° oder 720° oder 1080° usw.

Im Bogenmaß ist das 2π oder 4π oder 6π oder 8π usw. ,d.h. n*2π.

Die fett dargestellten Winkel sind also gleich, nämlich der Winkel von z^4. Deshalb habe ich die beiden Terme gleichgesetzt und φ ausgerechnet.

Die Formeln mit sin und cos brauchst du nur, wenn du kartesische (x,y) in Polarkoordinaten (r,φ) umrechnest.

:-)

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also die sache ist die, das ist doch ein ganz anderer lösungsansatz wie tschakabumba mir unten gezeigt hat oder? welcher ist denn gängig, aber am einfachsten zu verstehen und den mein prof auch sehen will?

4*φ=n*2π → φ=n*π/2

was diese stelle angeht habe ich folgende formel: n*φ=φ+k*2pi

wenn ich das richtig sehe ist das zweite n ja mein k, allerdings fehlt da das φ oder? ist meine formel falsch?

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Der erste Winkel bei dieser Aufgabe ist doch 0.

was diese stelle angeht habe ich folgende formel: n*φ=φ+k*2pi

Zu dieser Formel gehört bestimmt noch eine Gleichung in der Form z^n=....

welcher ist denn gängig,

Das kommt auf immer auf die konkrete Aufgabe an. Da hier das Ergebnis eine reelle Zahl, nämlich 81 ist, sind beide Wege denkbar.

am einfachsten zu verstehen

Das musst du dir selbst beantworten.

den mein prof auch sehen will?

Ich kenne deinen Prof nicht, aber ich vermute, dass du zeigen sollst, dass du es kapiert hast.

:-)

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Wieso das? woher weiß ich das? wie erkenne ich das? bleibt der Winkel bzw. phi nicht in meiner formel gleich? und nur k ändert sich?

also ich weiß nicht ob mein problem klar wird: aber ich habe gegeben z^4=81
das ist ja die kartesische form.
und das soll jetzt in die polarkoordinatenform und ich möchte alle lösungen haben.
also bringe ich das erstmal in die polarkoordinatenform:

r=\( \sqrt[n]{a+b} \) also \( \sqrt[4]{81} \) = 3 v -3
r=3 v (-3?)
φ verstehe ich bis jetzt immer noch nicht zu ermitteln (da b fehlt), also lasse ich das ganze also konstante jetzt mal stehen.
meine Formel lautet nun:

r*(cos\( \frac{φ+k*2pi}{n} \))+i*(sin\( \frac{φ+k*2pi}{n} \)
eingesetzt mit allem was ich habe ist das für mich dann:
3 [oder(-3?)]*(cos\( \frac{φ+(k=0;1;2;3)*2pi}{4} \))+i*(sin\( \frac{φ+(k=0;1;2;3)*2pi}{4} \))

---

Das Problem ist, dass du vor lauter Formeln das Grundprinzip nicht verstanden hast.

Zu z^4=... gibt es vier komplexe Lösungen mit vier verschiedenen Winkeln.

In deiner Formel wird φ der Winkel für k=0 genannt, während ich alle vier Winkel so nenne.

z^4=81 das ist ja die kartesische form.

Das ist nicht richtig, weil da ja z steht.

In der kartesischen Form wäre es

(x+yi)^4=81

In der Polarform

(r*e^{iφ})^4=81

Der Teil am Schluss ist ziemlich wirr und enthält auch Fehler.

also bringe ich das erstmal in die polarkoordinatenform: r=\( \sqrt[n]{a+b} \) also \( \sqrt[4]{81} \) = 3 v -3
r=3 v (-3?)

a+b ist falsch und der Betrag r kann nicht negativ sein.

Answer 4

Aloha :)

$$z^4=81\implies z^2=\pm\sqrt{81}=\left\{\begin{array}{l}+9\\-9\end{array}\right.\implies z=\left\{\begin{array}{ll}\pm\sqrt9&=\left\{\begin{array}{c}+3\\-3\end{array}\right.\\[3ex]\pm\sqrt{9i^2}&=\left\{\begin{array}{c}+3i\\-3i\end{array}\right.\end{array}\right.$$

In Polarkoordinaten also:$$3e^{i\cdot0}\quad;\quad3e^{i\pi}\quad;\quad3e^{i\frac\pi2}\quad;\quad3e^{i\frac{3\pi}2}$$

Comments

hallo nochmal,

ich verstehe immer noch nicht wie ich an mein Phi komme also r ist jetzt klar aber lautet die allgemeine Formel: n*phi=k*2pi?

Ich habe in der Formelsammlung die formel Winkel°=arccos(\( \frac{x}{r} \) und mit dem Winkel kann ich ja dann über die Formel \( \frac{Winkel°}{57,296} \)=phi das bogenmaß berechnen. Nur leider funktioniert das nicht: arccos\( \frac{81}{3} \)= undefiniert. Ich habe einfach 100 formeln und nie weiß ich welche richtig ist.

---

Bei \((+3)\) ist der Realteil \(3\) und der Imaginärteil \(0\). Der Wert liegt auf der Realteil-Achse, rechts vom Ursprung, der Polarwinkel ist \(\varphi=0\).

Bei \((+3i)\) ist der Realteil \(0\) und der Imaginärteil \(3\). Der Wert liegt auf der Imaginärteil-Achse, oberhalb vom Ursprung, der Polarwinkel ist \(\varphi=\frac\pi2\).

Bei \((-3)\) ist der Realteil \((-3)\) und der Imaginärteil \(0\). Der Wert liegt auf der Realteil-Achse, links vom Ursprung, der Polarwinkel ist \(\varphi=\pi\).

Bei \((-3i)\) ist der Realteil \(0\) und der Imaginärteil \((-3)\). Der Wert liegt auf der Imaginärteil-Achse, unterhalb vom Ursprung, der Polarwinkel ist \(\varphi=\frac{3\pi}2\).

---

es tut mir leid ich verstehe das noch immer nicht:

also ich habe doch als normalform z=a+bi (a ist doch realteil und bi imaginärteil?)

wenn mein a nun 3 ist (oder -3 wegen dem Wurzel ziehen) dann habe ich doch noch lange kein 3i. ich kann ja nicht einfach aus a ein b zaubern?

laut meiner Formelsammlung habe ich:

a>0 und b>0 = 1 quadrant = 90°=pi/2

a<0 und b>0 =2 Quadrant= 180°=pi

a<0 und b<0 =3 quadrandt=270°=3/2 *pi

a>0 und b<0=4 quadrant = 360° bzw 0°? =2pi

so jetzt habe ich in meiner Aufgabe 3 bzw -3 =a

dann habe ich a>0 oder a<0 was alle quadranten möglich macht, da ich kein b gegeben habe. also scheinbar verstehe ich das ganze Grundprinzip noch nicht.

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also ich weiß nicht ob mein problem klar wird: aber ich habe gegeben z^4=81

das ist ja die kartesische form.

und das soll jetzt in die polarkoordinatenform und ich möchte alle lösungen haben.

also bringe ich das erstmal in die polarkoordinatenform:

r=\( \sqrt[n]{a+b} \) also \( \sqrt[4]{81} \) = 3 v -3

r=3 v (-3?)

φ verstehe ich bis jetzt immer noch nicht zu ermitteln (da b fehlt), also lasse ich das ganze also konstante jetzt mal stehen.

meine Formel lautet nun:

r*(cos\( \frac{φ+k*2pi}{n} \))+i*(sin\( \frac{φ+k*2pi}{n} \)

eingesetzt mit allem was ich habe ist das für mich dann:

3 [oder(-3?)]*(cos\( \frac{φ+(k=0;1;2;3)*2pi}{4} \))+i*(sin\( \frac{φ+(k=0;1;2;3)*2pi}{4} \))

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Anscheinend verstehst du es nicht.

In den Zeilen aus deiner Formelsammlung fehlen doch die Fälle a=0 und b=0.

Falls b=0 ist, ist die Zahl reell, liegt also auf der reellen Achse und damit in keinem der Quadranten.

Für a=0 ist die Zahl imaginär und liegt auf der imaginären Achse.

Answer 5

et voila:          .

Answer 6

Vierte Wurzel mit positivem Imarginärteil ?

Vierte Wurzel mit negativem Imarginärteil ?

Die sind auf einem Kreis mit Radius 4.Wurzel aus 81, also Radius = 3

auf den 4 Schnittpunkten mit denAchsen des Koordinatensystem

Vierte Wurzel mit positivem Imarginärteil ?   = 0+3i

Vierte Wurzel mit negativem Imarginärteil ?  = 0-3i

und die anderen beiden sind reell nämlich 3 und -3.