Gib einen allgemeinen Term für den Radius des Inkreises an, den man für ein regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a erhält

Question

Aufgabe 1:

Über zwei benachbarten Seiten in einem regelmäßigen Sechseck bzw. Achteck werden nach innen Quadrate gezeichnet, die sich in einer Drachenfigur überschneiden. Bestimme jeweils den Flächeninhalt des Inkreises des Drachens für die Seitenlängen \( a=\overline{A B}=6 \) LE. des Sechsecks bzw. \( a=\overline{A B}=4 \) LE des Achtecks.

Gib einen allgemeinen Term für den Radius \( r_{n}, n \geq 3 \) des Inkreises an, den man auf diese Weise für ein regelmäßiges \( n \)-Eck mit der Seitenlänge \( a \) erhält und verdeutliche damit, dass \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} r_{n}=0 \).

Aufgabe 2:

Bestimme die Lösung der Gleichung \( \sqrt[3]{x+3}=\sqrt{x-1} \) und zeige, dass diese Lösung eindeutig ist.

Comments

allgemein gilt $$r_n = \frac{a}{\cot\left(\frac{\pi}n\right)+1}, \quad n \ge 3$$und da der Kotangens gegen unendlich strebt, wenn sein Argument gegen 0 geht, gilt auch$$\lim_{n \to \infty} r_n = 0$$

Answer 1

2.

(x + 3)^(1/3) = (x - 1)^(1/2)
(x + 3)^(6/3) = (x - 1)^(6/2)
(x + 3)^2 = (x - 1)^3
x^2 + 6·x + 9 = x^3 - 3·x^2 + 3·x - 1
x^3 - 4·x^2 - 3·x - 10 = 0 → x = 5 als einzige reelle Lösung

Probe

(5 + 3)^(1/3) = (5 - 1)^(1/2)
8^(1/3) = 4^(1/2)
2 = 2

Comments

Kannst du noch den Flächeninhalt des Inkreises des Drachens ausrechnen. Also das ist noch bei der Aufgabe 1 zweite Paragraf. Bitte

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Werner-Salomon hatte dir bereits den allgemeinen Radius den Inkreises notiert. Wenn du die Fläche brauchst gilt

A = pi * r^2

Setzte dann dein r ein und berechne damit den Flächeninhalt.

Probiere auch die Formel die Werner-Salomon genannt hat auch selber herzuleiten.

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Was für ein Radius haben wir?

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Was für ein Radius haben wir?

steht oben unter Deiner Frage in meinem Kommentar. Für Sechseck und Achteck ist das jeweils$$r_6 = \frac a{\sqrt 3\, + 1} \approx 0,3660\,a\\r_8 = \frac a{\cot\left( \frac{\pi}{8}\right) +1} = \frac{a}{\frac{1}{\sqrt 2 -1}+1}\\\phantom{r_8}= a\left(1 -\frac 12\sqrt2 \right)\approx 0,2929\,a$$

Der_Mathecoach schrieb:

Probiere auch die Formel die Werner-Salomon genannt hat auch selber herzuleiten.

wenn Du dazu noch Fragen hast, so frage möglichst konkret nach. Der Trick besteht hier darin, das unwesentliche in der Zeichnung weg zu lassen ;-)

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Die Zeichnung des Wesentlichen:

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Der Ansatz wäre

TAN(360°/(2·n)) = r/(a - r)

Diese Gleichung ist einfach nach r aufzulösen.

Man kann dabei vereinfachen, muss es aber nicht.