x^2*c'(x)+x*c+x*c=sin(x) / hier habe ich jetzt das Problem, müsste sich nicht eigentlich x*c und x*c aufheben (also …

Question

Aufgabe: Inhomogenes DGL 1.O

x*y'+y=sin(x)

Problem/Ansatz:

Mich würde es interessieren, ob ich das soweit richtig gemacht habe:

y'+\( \frac{1}{x} \)*y=\( \frac{1}{x} \)*sin(x)

-> \( \frac{dy}{dx} \)+\( \frac{1}{x} \)*y=0

-> \( \frac{dy}{dx} \)=\( \frac{1}{x} \)*y

->dy=\( \frac{1}{x} \)*y*dx

-> \( \frac{1}{y} \)*dy=\( \frac{1}{x} \)*dx      /integrieren

-> ln(y)+c1=ln(x)+c2                                    /c2-c1=c            /*e^

-> y=x+c                                                     /ableiten

-> y'=x*c'(x)+c                                            /y und y' in Ausgangsfunktion

-> x*(x*c'(x)+c)+(x*c)=sin(x)

x^2*c'(x)+x*c+x*c=sin(x)                             / hier habe ich jetzt das Problem, müsste sich nicht eigentlich x*c und x*c                                                                                    aufheben (also minus statt plus) wo ist der Fehler? Falls das stimmt habe ich                                                                            folgendermaßen weitergerechnet:

-> x^2+c'(x)=sin(x)

-> c'(x)= \( \frac{sin(x)}{x^2} \)                     /integrieren, Was viel zu kompliziert ist

Fazit: vermutlich muss ich hier mit einer Substitution arbeiten, ich weiß nur nicht was ich Substituieren soll.

Answer 1

Aloha :)

Hier brauchst du fast nichts zu rechnen:$$\left.xy'+y=\sin(x)\quad\right|(xy)'=y+xy'$$$$\left.(xy)'=\sin(x)\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.xy=-\cos(x)+c\quad\right|c=\text{const}\;|\;\colon x$$$$y=\frac{c-\cos(x)}{x}$$Die Konstante \(c\) folgt aus der Anfangsbedingung.

Comments

vielen dank, aber hier verstehe ich leider den ersten schritt schon nicht, warum ist (xy)'=y+x*y'

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Die Ableitung von \(x\cdot y\) steht auf der linken Seite:$$\left(\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{y(x)}_{v}\right)'=\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{y(x)}_{v}+\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{y'(x)}_{v'}=y+xy'$$Deswegen kannst du beide Seiten sofort integrieren.

Answer 2

Hallo,

Weg : Variation der Konstanten, so wird es an der Uni gelehrt.

x*y'+y=sin(x)

-homogene DGL:

x*y'+y=0  -y

x y'= -y |:x

y'= -y/x

dy/dx= -y/x

x dy= -y dx

dy/y= -dx/x

ln|y|= -ln|x|+C | e hoch

y_h = C₁/x

- Setze C1=C(x)

yp=C(x)/x

yp'= C'(x)/x -C(x)/x^2

- setze yp und yp' in die DGL ein, wichtig C(x) muß dann wegfallen

C(x)= -cos(x)

- yp=C(x)/x=-cos(x)/x

- y=yh+yp

Lösung:

\( y(x)=\frac{c_{1}}{x}-\frac{\cos (x)}{x} \)

Comments

Also den Lösungsweg verstehe ich zumindestens schonmal.

Jetzt die Frage: Wenn ich y und x nicht vollständig auf eine Seite bringen kann (hier aufgrund der Multiplikation) dann kann ich das einfach immer so stehen lassen?

also wenn ich jetzt x+y'+y=sin(x) hätte, dann müsste ich ja auf jedenfall erstmal -x nehmen und dann=0 setzen oder?

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das habe ich doch getan:

x*y'+y=sin(x)

x*y'+y=0  ->0 setzen

dy/y= -dx/x ALLE y auf eine Seite bringen und alle x auf die andere Seite bringen

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Ja ich hatte mich da schlecht ausgedrückt das stimmt, habe meine antwort oben überarbeitet.

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ich habe gerade nochmal nachgerechnet und komme ab diesem teil abe rnicht wirklich weiter: ln|y|= -ln|x|+C | e hoch

Wenn ich da die e funktion anwende erhalte ich doch y=-x*c

und y' dementsprechend -x*c-c' ? wieso kommt da bei dir c/x raus? oder ergibt -ln(x) mit e funktion x^-1?

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ln|y|= -ln|x|+C | e hoch

|y|= e^(-ln|x|+C) =e^(-ln|x|) *e^c

y= e^(-ln|x|+C) =e^(-ln|x|) * ± e^c

y=  e^(-ln|x|) * ± e^c ; ± e^c =C₁

y=  e^(-ln|x|) * C₁ ;       e^(-ln(x)) =(e^(ln(x))^(-1) , e und ln heben sich auf, da Umkehrfunktionen

y= -1/x *C₁ = -C₁/x