Ich kann doch diese DGL entweder durch einfache Integration oder mittels Trennung der Variablen lösen, wie …

Question

Aufgabe: Differentialgleichungen

Aufgabe 1:
$$\frac{dN}{dt}=r.(K-N(t))$$

Mit r und K als Konstanten.
Zur Zeit t = 0 ist N(0) = 0. Geben Sie die Wachstumsfunktion für N(t) an

Aufgabe 2:
$$\frac{dN}{dt}= - lambda . N$$

ges: N(t)

Aufgabe 3:
$$\frac{dC}{dt}= A- lambda . C$$

Gesucht: C(t)

Problem/Ansatz:

Ich kann doch diese DGL entweder durch einfache Integration oder mittels Trennung der Variablen lösen, wie entscheide ich wie ich was mache und wie gehe ich da vor ?

!

Answer 1

Wie willst du das machen bei 1) und 2) wie N(t) integrieren, ohne es zu kennen?  bei 3) entsprechend C(t)

nur etwas, was man nicht mehr Dgl nennt wie N(t)=f(t) mit bekannter funktion f kann man direkt integrieren,

Oder was nennst du "einfache Integration"?

bei 2 kannst du natürlich direkt sagen eine funktion die bis auf einen konstanten Faktor wieder die funktion ist, muss eine Exponentialfunktion sein. aber auch das würde ich nicht einfach integrieren nennen

Gruß lul

Comments

Hallo, in unsren Mathe Unterlagen, steht eben dass man die Bsp durch diese 2 Ansätze lösen kann. Ich blick nur leider überhaupt nicht bei diesem Thema durch.

Wie komme ich dann zB. bei Nummer 1 zu einer Lösung?

Lg

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Hallo

1) N'=-rN+rk

2 Möglichkeiten: 1. die homogene Dgl N'=-rN lösen  mit N(t)=C*e^-rt. dann eine Lösung der einhomogenen raten N=const =A einsetzen N'=0

0=-r*A+rk folgt A=k damit allgemeine Lösung N(t)=C*e-rt+k  jetzt N(0)=0 einsetzen und daraus C bestimmen.

2. dN/(k-N)=rdt auf beiden Seiten integrieren

Gruß lul

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Könntest du mir ev. die Schritte der Integration dN/K-N)=rdt erklären ? Bzw. was mach ich da mit dem K

Danke

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Hallo

das ist doch ein einfaches Integral: du könntest wissen ( ln(k-N))'=1/(k-N)*(-1)

kannst du jetzt integrieren?

lul

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ich hätte es jz so gelöst:

\( \frac{dN}{(K-N)} \)  = r.dt

∫\( \frac{dN}{(K-N)} \) = r. ∫dt

 -ln K . ln N = r . t + C

ln N = r.t + C + K

N(t) = \( e^{r.t} \) + \( e^{C} \) + \( e^{k} \)

N(t)= C . \( e^{r.t+k} \)

Für C:

bei t=0, N(0)=0

N(0)= C.\( e^{0} \)

N(0)= C

Lösung:

N(t)= N(0) . \( e^{r.t+k} \)

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Wie du integrierst verstehe ich nicht!

$$\int \frac{dN}{k-N}=-\ln{(K-N)}$$ wie kann man da auf ein Produkt kommen?

und e^(a+b+c)≠e^a+e^b+e^c sowas sollte nem Studi nicht passieren.

zudem, kann man seine Lösungen ja leicht durch differenzieren und einsetzen überprüfen

dann deine Rechnung: da steht N(0)=0 als nächstes 2 Zeilen weiter N(0)=C ein denkender Mensch würde daraus schließen C=0 und sich wundern?

Bitte verwende nicht den Punkt "."  als Malzeichen!

lul

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∫\( \frac{dN}{K-N} \) = r * ∫dt

-ln (K-N)= r*t+C

Soweit stimmts noch oder?

N-K=\( e^{r*t+C} \)

N-K = C* \( e^{r*t} \)

N= C* \( e^{r*t} \)+k

Zu der Rechnung, das hab ich genau so gemacht wie der Prof

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Verstehe ich nicht! welche Fehler hat dein Professor auch gemacht?

jetzt ist es richtig,  bis zu der Stelle wo du frägst.du musst noch C ausrechnen.

lul

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Richtig wäre (hinter: stimmts noch oder)

$$\exp(-\ln(K-N))=(K-N)^{-1}$$

Im übrigen müssten Beträge genommen werden, solange nichts über das Vorzeichen von K-N gesagt / geklärt ist.

Gruß Mathhilf

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eine Frage hätt ich noch.

Wenn ich eine Konstante integriere in dem Fall K, fällt die dann nicht einfach weg ?

Lg und danke für die Hilfe!

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Die Frage verstehe ich nicht. wenn man eine Konstante integriert, kommt k#x oder k*t raus. Wenn die Konstante in einer funktion vorkommt fie in f(x)=1/(k-x) gibt es noch weniger Anlass, dass sie verschwindet. vielleicht verwechselst du integrieren mit differenzieren? differenziert man f(x)+k fällt k weg, weil die Steigung unabhängig ist von einer Verschiebung ich oben, aber natürlich nicht die flache unter der Funktion.

Aber nochmal, du kannst sowas immer durch differenzieren der Funktion selbst überprüfen.

lul

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Danke ! habs verwechselt