Lösen eines Doppelintegrals

Question

Aufgabe:

Löse folgendes Doppelintegral:

\( \int\limits_{x=1}^{2} \) \( \int\limits_{y=0}^{\frac{pi}{2}*x} \) cos(y) dy dx

Problem/Ansatz:

Ich habe mal wieder irgendetwas falsche gemacht ...

\( \int\limits_{x=1}^{2} \) [sin(y)] von den Grenzen 0->\( \frac{pi}{2} \)*x

\( \int\limits_{x=1}^{2} \) sin(\( \frac{pi}{2} \)*x)

Nebenrechnung Integration durch Substitution:

pi/2*x=u

\( \int\limits_{}^{} \) sin(u)*\( \frac{2}{pi} \) du

Nebenrechnung partielle Integration:

a=sin(u)

a'=-cos(u)

b=2/pi

b'=0

-> -cos(u)*\( \frac{2}{pi} \)-\( \int\limits_{}^{} \)-cos(u)*0

-> -cos(u)* \( \frac{2}{pi} \)

resubstitution:

-cos(\( \frac{pi}{2} \)*x)*\( \frac{2}{pi} \) von den Grenzen 1->2

-> -0,636-(-0,636) =0 (ungefähr)

Die Lösung soll \( \frac{2}{pi} \) sein

Answer 1

Aloha :)

Hier musst du doch gar nichts substituieren. Das Integral kannst du direkt durchrechnen:

$$I=\int\limits_{x=1}^2\int\limits_{y=0}^{\frac\pi2x}\cos(y)dy\,dx=\int\limits_{x=1}^2\left(\,\int\limits_{y=0}^{\frac\pi2x}\cos(y)dy\right)dx=\int\limits_{x=1}^2\left[\sin(y)\right]_{y=0}^{\frac\pi2x}dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_{x=1}^2\sin\left(\frac\pi2x\right)dx=\left[-\frac2\pi\cos\left(\frac\pi2x\right)\right]_1^2=-\frac2\pi\cos\left(\pi\right)+\frac2\pi\cos\left(\frac\pi2\right)$$$$\phantom{I}=-\frac2\pi\cdot(-1)+\frac2\pi\cdot0=\frac2\pi$$

Comments

aber mit substituieren geht es auch oder? und muss ich das nicht auch so machen, woher soll ich sonst an die 2/pi kommen vor meiner -cos((pi/2)x) ?

vielen dank für die antwort.

Answer 2

es ist a' = cos (u)   [ ohne minus ] .

Außerdem ist partielle Int.

nicht nötig.

(s. andere Lösung )