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Aufgabe (Doppelintegrale in kartesischer Form mit variablen Grenzen):

Berechnen Sie das Doppelintegral:

\( \int \limits_{y=0}^{2} \int \limits_{x=-\sqrt{1+y^{2}}}^{0} \sqrt{1+y^{2}} \cdot x^{2} d x d y \)


Meine Rechnung:

\( \int \limits_{y=0}^{2} \int \limits_{x=-\sqrt{1+y^{2}}}^{0} \sqrt{1+y^{2}} \cdot x^{2} d x d y \)

\( =\int \limits_{y=0}^{2}\left[x^{3} \frac{\sqrt{1+y^{2}}}{3}\right]_{-\sqrt{1+y^{2}}}^{0} d y \)

\( =\int \limits_{y=0}^{2} \left(-\sqrt{1+y^{2}}\right)^{3} \cdot \frac{\sqrt{1+y^{2}}}{3} d y \)

\( =\int \limits_{y=0}^{2} \)

\( = -8 ~ ? \)

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2 Antworten

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Beste Antwort

Hi,

das Integral über x ist soweit richtig. Nur weiterverfolgen.


$$\int_0^2 0 - \frac{-(\sqrt{1+y^2})^4}{3} dy = \int_0^2 \frac{(1+y^2)^2}{3} dy$$

Nun erste binomische Formel anwenden und Summandenweise integrieren. Sollte kein Problem sein, denke ich.


Kontrollergebnis: 206/45 ≈ 4,58


Grüße

Avatar von 141 k 🚀
+1 Daumen

1. du hasten einen Vorzeichenfehler

2. Mittels Potenzgesetzen muss $$ \int \limits_{y=0}^2 \frac{(1+y^2)^2}{3}dy $$ als Zwischenergebnis rauskommen.

Gruß

Avatar von 23 k

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