Goniometrische Gleichung, 1 Lösung fehlt. tan(x+π/2) = cos x

Question

\( \tan \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x \)

\( \Rightarrow-\frac{\cos x}{\sin x}=\cos x \)

\( \Rightarrow \sin x=-1 \)

ich erhalte bei dieser Gleichung die Lösung: -π/2 +2kπ k ∈ ℤ, linker Teil mit Quadrantenrelation umgeformt zu - cotx,

umgeschrieben zu - cosx/sinx, nach sinx aufgelöst.

Wenn ich mir diese Gleichung aber plotte, sehe ich, dass es noch eine Lösung geben muss. Es müsste eigentlich +πk bei der Lösung heißen. Hätte ich anders umformen müssen, um die zweite Lösung zu sehen? Was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

In der zweiten Zeile hast du auch mit cos(x) = 0 Lösungen, wenn sin(x) nicht gerade 0 ist.

Rechne

0 = cos x + cos x/ sin x = cos x ( 1 + 1/sin x)

und jetzt beide Faktoren einzeln 0 setzen.

Dein 'Fehler': Du hast durch einen Term dividiert, der x enthält. (Term: cos(x))