komplex konjugierte Rechnung einfach stellen

Question

Aufgabe:

Es wird in meinem Lösung buch komplex konjugiert erweitert, allerdings verstehe ich nicht genau wie man auf die Lösung kommt.

Z = \( \frac{-w²LCR+jwL}{1-w²LC+jwRC} \)

und die kommen irgendwie auf: \(Z = \frac{w^4L^2C^2R+jwL(1-w^2LC+w^2C^2R^2)}{(1-w^2LC)^2+w^2R^2C^2} \)

also ich habe es probiert, komplex konjugiert heißt ja das der Nenner bzw. der Imaginärteil vom Nenner *(-1) genommen wird, somit erhält man:

das man den Bruch mit (1-w²LC-jwRC) aber die Rechnung wird nur unendlich lang?

^{GIbt es keinen schnelleren Weg? Was sagen die Profis?}

Answer 1

Aloha :)

$$Z=\frac{-\omega^2LCR+i\omega L}{1-\omega^2LC+i\omega RC}=\frac{-\omega^2LCR+i\omega L}{(1-\omega^2LC)+i\omega RC}\cdot\frac{(1-\omega^2LC)-i\omega RC}{(1-\omega^2LC)-i\omega RC}$$$$\phantom{Z}=\frac{(-\omega^2LCR+i\omega L)((1-\omega^2LC)-i\omega RC)}{(1-\omega^2LC)^2-(i\omega RC)^2}$$$$\phantom{Z}=\frac{-\omega^2LCR(1-\omega^2LC)+i\omega L(1-\omega^2LC)-\omega^2LCR(-i\omega RC)+i\omega L(-i\omega RC)}{(1-\omega^2LC)^2+\omega^2 R^2C^2}$$$$\phantom{Z}=\frac{-\omega^2LCR+\omega^4L^2C^2R+i\omega L-i\omega^3L^2C+i\omega^3LC^2R^2-i^2\omega^2LRC}{(1-\omega^2LC)^2+\omega^2 R^2C^2}$$$$\phantom{Z}=\frac{(\cancel{-\omega^2LCR}+\omega^4L^2C^2R+\cancel{\omega^2LRC})+i(\omega L-\omega^3L^2C+\omega^3LC^2R^2)}{(1-\omega^2LC)^2+\omega^2 R^2C^2}$$$$\phantom{Z}=\frac{\omega^4L^2C^2R+i\omega L(1-\omega^2LC+\omega^2C^2R^2)}{(1-\omega^2LC)^2+\omega^2 R^2C^2}$$