Beweis durch Taylorpolynome/Mittelwersatz

Question

Aufgabe:

Sei f : ]0, ∞[ → R gegeben durch f(x) := ln(1 + x). Beweisen Sie die folgende Ungleichung x − x^2/2 < ln(1 + x) < x, fur    x ∈ ]0, ∞[. a) mit Hilfe der Taylorpolynome T1(x) und T2(x) mit Entwicklungspunkt x0 = 0

Problem/Ansatz:

a) Beweisen Sie die folgende Ungleichung x − x^2/2 < ln(1 + x) < x, fur   x ∈ ]0, ∞[. a) mit Hilfe der Taylorpolynome T1(x) und T2(x) mit Entwicklungspunkt x0 = 0

B) mit Hilfe des Monotoniekriteriums (die linke Ungleichung) und mit Hilfe des Mittelwertsatzes (die rechte Ungleichun

Answer 1

B) links:  x − x^2/2 < ln(1 + x)    mit f(x)= ln(1 + x) - x + x^2 / 2

<=>     f(x) > 0

Es ist f '(x) = 1/(1+x)  -1 + x  =   x^2 / (x+1)  und das ist für

alle x>0 positiv, also ist f streng monoton steigend über R⁺

und wegen f(0)=0 ist also f(x)>0 für alle x>0.

rechts: ln(1+x) < x  für x > 0 mit MWS

Betrachte f(x)=x-ln(1+x) . Also zu zeigen f(x)>0.

Mit f(0)=0 also nach MWS

(f(x) -f(0)) / ( x-0) = f ' (z)  mit einem zwischen 0 und x , also

f(x) / x  =   f ' (z)     da x > 0 also

<=> f(x) = x*f'(z)   .

Wegen f'(z)=z/(1+z) ist f '(z)>0 und auch x>0 also auch

das Produkt.  q.e.d.