Untersuchen Sie folgende Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihre Grenzwerte

Question

Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert für n→∞

\( \sum \limits_{v=1}^{n} \frac{1}{2^{v}} \quad \frac{n !}{2^{n}} \quad\left(\frac{n^{2}-1}{2 n+2}\right) \)

Answer 1

a) Versuch es mal mit dem Quotientenkriterium. ;)

b) Du musst zeigen dass 2^n ab einem bestimmtem n schneller als n! wächst.

c) ist divergent, das sieht man schon daran, dass der Zähler die höchste Potenz besitzt.

Answer 2

a) ist eine geometrische Reihe. b)$$\frac{n!}{2^n}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}\cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{2} \cdot \frac{n}{2}\geq \frac{n}{2}$$ (für n>3) und hat damit eine divergente Minorante. c)$$\frac{n^2-1}{2n+2} =\frac{n-1}{2}$$ ist divergent.