Bestimme alle Lösungen von z^3= \frac{1}{i}

Question

Aufgabe:

Bestimme alle Lösungen von z^3=\( \frac{1}{i} \)

Problem/Ansatz:

Z^3=\( \frac{1}{i} \)= -i

r=\( \sqrt{0^2+(-1^2)} \)=1

Phi=\( \frac{3pi}{2} \) (da x nicht gegeben und y<0 ergibt sich dritter Quadrant also 270°)

Anwenden der Formel:

1*cos(\( \frac{\frac{3pi}{2}+k*2pi}{3} \))+i*sin(\( \frac{\frac{3pi}{2}+k*2pi}{3} \))

k=0;1;2

Z1= 1+0,025i

Z2= 1+0,06i

Z3= 1+0,1i

benutze ich die andere Formel ergibt sich:

r^\( \frac{1}{3} \)*e^(i*(\( \frac{3pi}{2} \)+2pi*k)*\( \frac{1}{3} \))

k=0;1;2

Z1= 1^\( \frac{1}{3} \)*e^(i*\( \frac{1}{2} \)*pi)

Z2= 1^\( \frac{1}{3} \)*e^(i*\( \frac{7}{6} \)*pi)

Z3= 1^\( \frac{1}{3} \)*e^(i*\( \frac{11}{6} \)*pi)

ist da irgendetwas von richtig oder mal wieder alles komplett falsch?

Answer 1

Hallo,

dass die ersten drei Lösungen falsch sind, erkennst du daran, dass z den Betrag 1 haben muss, während deine Werte einen größeren Betrag haben.

Z1= 1+0,025i

Z2= 1+0,06i

Z3= 1+0,1i

Die unteren drei sind richtig. Vielleicht verstehst du es mit Winkeln im Gradmaß besser als im Bogenmaß.

Du schreibst ja richtig, dass zu -i der Winkel 270° gehört. Wenn du den durch 3 dividierst, hast du die erste Lösung schon, denn zu dem Betrag 1 und dem Winkel 90° gehört die Zahl i.

Da z^3 gegeben ist, musst du für die anderen beiden Lösungen 120° bzw. 240° addieren, da 360/3=120 ist.

:-)

Comments

vielen dank erstmal, wieso gehört zu 90 ° die zahl i?

das heißt für phi setzte ich bei z1 pi/2 ein (da 90 °)

bei z2: 7/6*pi da 210° und bei z3 = 11/6 phi (da 330°)

ich glaube so langsam ist der groschen gefallen.

Z1=1*cos(\( \frac{\frac{pi}{2}+0*2pi}{3} \))+i*sin(\( \frac{\frac{pi}{2}+0*2pi}{3} \))

Z2=1*cos(\( \frac{\frac{7pi}{6}+1*2pi}{3} \))+i*sin(\( \frac{\frac{7pi}{6}+1*2pi}{3} \))

Z3=1*cos(\( \frac{\frac{11pi}{6}+2*2pi}{3} \))+i*sin(\( \frac{\frac{11pi}{6}+2*2pi}{3} \))

ist das meine richtige lösung?

Z1=1+0i

Z2=0,99+0,12i

Z3=0,93+0,37i

---

wieso gehört zu 90 ° die zahl i?

Die waagerechte bzw. positive reelle Achse gehört zum Winkel 0°.

Dann geht es gegen den Uhrzeigersinn weiter. Bei 90° ist die senkrechte bzw imaginäre Achse erreicht, also z.B. i, 2i usw.

Bei 180° liegt die negative reelle Achse usw.

Deine zweite und dritte Lösungen sind falsch.

\( z_{23} \approx\pm0.86603-0.50000 i \)

Hast du den Taschenrechner auf Bogenmaß RAD eingestellt?

:-)

---

ok das mit dem winkel ist klar hatte das nicht direkt geblickt.

also bei der einstellung auf RAD (hatte ich natürlich nicht gemacht) habe ich trotzdem was anderes raus, egal ob comp + rad oder cmplx + rad

z2= -0,985 - 0,174i

z3= 0,985 - 0,174i

---

90°=π/2

90°+120°=210°=π/2 + 2π/3=7π/6

cos(7π/6)≈-0,866

sin(7π/6)=-0,5

--> -0,866-0,5i

90°+240°=330° usw.

:-)

---

achso ich habe die gesamte formel eingetippt .... oh man ja klar x*r*cos(phi) und y=r*sin(phi)*i

Answer 2

Aloha :)

$$z^3=\frac1i=\frac{-i^2}{i}=-i=\cos\left(\frac\pi2+2k\pi\right)-i\sin\left(\frac\pi2+2k\pi\right)=e^{-i\left(\frac{\pi}{2}+k2\pi\right)}$$Der Term \(2k\pi\) mit \(k\in\mathbb Z\) berücksichtigt die \(2\pi\)-Periode der Winkelfunktionen.

$$z=\left(z^3\right)^{\frac13}=\left(e^{-i\left(\frac{\pi}{2}+k2\pi\right)}\right)^{\frac13}=e^{-i\frac13\left(\frac{\pi}{2}+k2\pi\right)}=e^{-i\left(\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3}\right)}$$Für \(k=0,1,2\) erhalten wir unterschiedliche Lösungen. Alle anderen Lösungen lassen sich auf diese 3 zurückführen. Z.B. ist die Lösung mit \(k=3\) dieselbe wie die Lösung mit \(k=0\). Es gibt also drei verschieden Lösungen:$$z=e^{-i\left(\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3}\right)}\quad;\quad k=0,1,2$$

Comments

vielen dank ! ;)

Answer 3

z^3 = - i = e^(i·(3/2·pi + k·2·pi))

z = - i = e^(i·(1/2·pi + k·2/3·pi)) für k = 0, 1, 2

z1 = e^(i·1/2·pi)
z2 = e^(i·7/6·pi)
z3 = e^(i·11/6·pi)

Damit sehen deine unteren Ergebnisse doch recht gut aus. Nur das du 1^{1/3} nicht direkt berechnet hast.

Die oberen Ergebnisse solltest du aber noch nachbessern. Allerdings sollte es nicht schwer fallen die unteren Ergebnisse umzuwandeln. Achte nur darauf das der Taschenrechner ins Bogenmaß gestellt werden muss.

z1 = i
z2 = - √3/2 - i/2
z3 = √3/2 - i/2

Comments

Danke das ist zumindestens schonmal ein teilerfolg für mich ;)