Bestimmen Sie einer Darstellungsmatrix (geg. komplexes Skalarprodukt)

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Vektoren

v1 = (1, 0, 0) , v2=(i,1,0) , v3 = (1,1,1) ∈ ℂ³

Sei s : ℂ³ x ℂ³ -> ℂ ein komplexes Skalarprodukt, sodass B = (v1, v2, v3) eine Orthonormalbasis bzgl. s ist. Bestimmen Sie M^E_E (s).

Wie bestimmt man die Darstellungsmatrix? Also wie sieht das nötige Skalarprodukt aus? Denn man muss wahrscheinlich einen Basiswechsel machen, den die passende Basiswechselmatriz M^B_E(s) hat als Spalten die Vektoren von B. Aber wie soll man M^B_B(s) finden, wenn kein direkter Skalarprodukt gegeben ist?

Answer 1

Du brauchst die Matrix bzgl. E, das ist ja wohl die Standardbasis mit e1,e2,e3.

Und du kennst die Skalarprodukte der Basisvektoren von B

untereinander, das ist immer 1 bzw. 0.

Nun ist ja v1=e1 , also auch <e1,e1>=<v1,v1> = 1

Und wegen v2=i*e1+1*e2 kannst du <e1,e2> bestimmen ;

denn es ist ja < e1, i*e1+1*e2 > = 0

==>   <e1,ie1> + <e1,e2> = 0

==>  i*<e1,e1>  + <e1,e2> = 0

==>    <e1,e2> = -i

Entsprechend bekommst du mit diesen Daten

und dem Ansatz v3=e1+e2+e3

und <v1,v3> =0   bzw <e1,v3>=0  ein Ergebnis

für <e1,e3>  etc. Und hast dann ja die

erste Zeile der Matrix schon fertig.

Comments

Ahh okay, man muss einfach direkt die Eigenschaften der ONB nehmen und die restlichen Einträge immer wieder als Linearkombination der Standardbasis schreiben.

Dankeschön :) (Bin einfach bei meiner Idee hängen geblieben!!)