Definition 2.21:
Es sei \( \left(a_{n}\right)_{n \notin \mathbb{N}} \) eine Zahlenfolge. Eine Zahl \( v \in \mathbb{R} \) heibt Häufungswert oder Verdichtungspunkt der Folge, wenn in jeder Umgebung \( U(v) \) von \( v \) unendlich viele Glieder der Folge liegen. Die Menge aller Verdichtungspunkte von \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) wird mit \( V\left(a_{n}\right) \) bezeichnet.
Man beachte den Unterschied zwischen den Begriffen Häufungspunkt einer Punktmenge und Vendichtungspunkt einer Folge. Während die Folge \( (-1)^{n} \) zwei Verdichtungspunkte hat (nảmlich 1 und \( -1 \) ), besitzt die Punktmenge der Folgenglieder \( \{-1,1\} \) keinen Häufungspunkt.
Meine Rechnung:
\( \left(a_{n}\right) n \in \mathbb{N} \) mit \( a_{n}=\frac{1}{2} \cdot 4^{(-1)^{n+1}} \)
\( \begin{array}{l} n=2 k: a_{n}=a_{2 k}=\frac{1}{2} \cdot 4^{(-1)^{2 k+1}}=\frac{1}{2} \cdot 4^{-1}=\frac{1}{2-4}=\frac{1}{8} \\ n=2 k+1: \quad a_{n}=a_{2 k+1}=\frac{1}{2} \cdot 4^{(-1)^{2 k+2}}=\frac{1}{2} \cdot 4^{1}=2 \\ \Rightarrow V\left(a_{n}\right)=\left\{2, \frac{1}{8}\right\} \end{array} \)
Ergebnisse: 1/8 und 2.
Wie wurde das berechnet? Ich verstehe nicht, wieso der Exponent 2k+1 in beiden Rechnungen plötzlich weg ist.
