Question

Normalverteilung, obere Grenze?

Folgendes Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Balls ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von 100 km/h, Standardabweichung 20 km/h

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Geschwindigkeit weniger als 65 km/h schnell ist?

Meine Berechnung wäre mit dem TR folgende gewesen:

untere Schranke: -∞
obere Schranke: 64
Erwartungswert: 100
Standardabweichung: 20

Dieser Ansatz ist jedoch falsch, weil die obere Schranke mit 65 berechnet gehört.

Kann mir das jemand erklären? Wenn steht, weniger als 65 km/h muss man doch einen Wert unter 65 nehmen und nicht genau 65.

Denn 65 würde man meiner Meinung nach nehmen, wenn z. B stehen würde "Wie groß ist die WS, dass der Ball höchstens 65 km/h schnell ist"

Answer 1

Die Geschwindigkeit 65 km/h ist ein Punkt, kein Intervall, und darum ist die Wahrscheinlichkeit Null, dass der Ball genau 65 km/h schnell ist. Es macht also keinen Unterschied, ob "weniger als" oder "höchstens".

Viel lustiger ist aber die Erkenntnis, dass der Ball mit einer Wahrscheinlichkeit größer als Null eine negative Geschwindigkeit hat.

Comments

Nein, es ist die WS gefragt, zu wie viel Prozent der Ball weniger als 65 km/h schnell ist, nicht genau 65 km/h

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Das habe ich auch nicht behauptet.

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Dann nimm 64,99999999...

:-)

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@MontyPython

Ja, aber ich verstehe den Sinn einfach nicht. Wenn ich mit 64,99999999999999999 rechne kommt ja was anderes wie in den Lösungen raus.

Und ich will verstehen, warum mit 65 gerechnet wird

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Weil \(64,\overline9=65\) ist.

:-)

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Vielleicht helfen Dir konkrete Wahrscheinlichkeiten weiter:

Soviel zum Thema

kommt ja was anderes wie in den Lösungen raus.

Answer 2

Hallo,

ich habe als Lösung 0,04006.

Was soll denn laut Musterlösung rauskommen und welchen Wert hast du ermittelt?

Answer 3

Aloha :)

Führe das Problem durch eine \(z\)-Transformation auf eine Standard-Normaverteilung \(\Phi\) zurück und lasse dir den ensprecheden Wert vom TR bestimmen bzw. schlag ihn in einer Tabelle nach:$$P(X<65)=\Phi\left(\frac{65-100}{20}\right)=\Phi(-1,75)\approx0,040059157\approx4\%$$

Der Fall von Gleichheit ist bei einer Normalverteilung ausgeschlossen, die Wahrscheinlichkeit, dass eine normal-verteilte Zufallsvariable \(X\) exakt einen Wert annimmt, ist immer gleich null, weil die obere und die untere Grenze des Gauß-Integrals identisch sind. Daher gilt:$$P(X<65)=P(X<65)+\underbrace{P(X=65)}_{=0}=P(X\le65)$$

Comments

Danke döschwo, habe noch etwas ergänzt.