Funktionsgleichung 4. Grades aufstellen

Question

\( f(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \)

\( f(x)=4 a x^{3}+3 b x^{2}+2 c x+d \)

\( f^{\prime}(x)=12 a x^{2}+6 b x+2 c \)

Der Graph G der ganzrationalen Funktion 4. Grades verläuft in einem kartesischen Koordinatenstem symmetrisch zur Ordinatenachse und schneidet die Abszissenachse im Punkt N \( (3 / 0) \). Die Tangente an den Graphen G, im Punkt P(1/4) ist parallel zur Geraden mit der Gleichung \( 3 x-y=0 \)

Eigenschaften des Graphen	Umsetzung
Symmetrisch zur y-Achse	\( f(x)=f(-x) \)
Nullstelle \( \mathrm{N}(3 / 0) \)	\( f(3)=0 \)
Tangente in \( P(1 / 4) \) ist parallel zur Geradengleichung \( 3 x-y=0 \) \( y = 3 x \)	\( f^{\prime}(1)=3 \) \( f(1)=4 \)

Ich bräuchte bei dieser Aufgabe die 5. Bestimmungsgleichung. Den Ansatz für 4 Gleichungen habe ich bereits gefunden. Aber für eine Funktionsgleichung 4. Grades brauche ich 5 Gleichungen (?).  Für die Tangente kann man ja zwei Gleichungen aufstellen, aber dann fehlt trotzdem noch eine.

Answer 1

Hi,

Bedenke die Symmetrie: y = ax^4+bx^2+c ;)

Es braucht nur 3 Gleichungen und die hast Du bereits ;).


Zur Kontrolle:

Ich komme auf

f(x) = -0,25x^4 + 2x^2 + 2,25


Grüße

Answer 2

 

aus der Achsensymmetrie kannst Du zwei weitere Informationen gewinnen:

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d

f(3) = 0 | 81a + 27b + 9c + 3d + e = 0

f(-3) = 0 | 81a - 27b + 9c - 3d + e = 0

f(1) = 4 | a + b + c + d + e = 4

f(-1) = 4 | a - b + c - d + e = 4

f'(1) = 3 | 4a + 3b + 2c + d = 3

a = -0,25

b = 0

c = 2

d = 0

e = 2,25

f(x) = -0,25x⁴ + 2x² + 2,25

Die Tangente habe ich nicht korrekt angelegt :-)

 

Besten Gruß

Answer 3

Der Graph G der ganzrationalen Funktion 4. Grades verläuft in einem kartesischen Koordinatenstem symmetrisch zur Ordinatenachse und schneidet die Abszissenachse im Punkt \(N_1 (3 | 0) \). Die Tangente an den Graphen G, im Punkt P\((1|4)\) ist parallel zur Geraden mit der Gleichung \( 3 x-y=0 \)

Die Achsensymmetrie bewirkt, dass \(N_2 (-3 | 0) \) ein weiterer Punkt auf der x-Achse ist. Ich fahre fort mit der Nullstellenform:
\(f(x)=a(x-3)(x+3)(x-N)(x + N)\\=a(x^2-9)(x^2-N^2)\\=a(x^4-N^2x^2 -9x^2+9N^2)\)
P\((1|4)\):
\(f(x)=a(8N^2-8)=4\)
\(a=\frac{1}{2N^2-2}\)
\(f(x)=\frac{1}{2N^2-2}(x^4-N^2x^2 -9x^2+9N^2)\)
Die Tangentensteigung in P\((1|...)\) ist \(m=3\):   1. Ableitung
\(f'(x)=\frac{1}{2N^2-2}(4x^3-2N^2x -18x)\)
\(f'(1)=\frac{N^2 +7}{1-N^2}=3\)
\(N^2=-1\)
\(a=-\frac{1}{4}\)
\(f(x)=-\frac{1}{4}(x^4 - 8x^2-9)\)

Comments

Kollidiert Dein Ergebnis N^2=-1 nicht mit Deinem Nullstellen- Ansatz ??

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Nein, weil:

\( N^2=-1=i^2\)

\(N_1=i\)

\(N_2=-i\)

\(f(x)=-0,25(x-3)(x+3)(x-i)(x+i)\\=-0,25(x^2-9)(x^2-i^2)\\=-0,25(x^2-9)(x^2+1)\\=-0,25(x^4-8x^2-9)\)

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Ach ja, der nun wieder. Ich halte es für in jeder Hinsicht verfehlt, hier klamheimlich komplexe Zahlen anzusetzen

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Das sehe ich nicht so:

Ganzrationale Funktionen 4. Grades haben 4 Lösungen. Nun sind \(x_1=i\) oder  \(x_2=-i\) Lösungen im Bereich ∉ ℝ .Drum sind in der obigen Zeichnung auch nur 2 Nullstellen zu sehen.

Ansonsten kann ich ja nicht mit einem falschen Lösungsweg ein richtiges Ergebnis erreichen.

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Ansonsten kann ich ja nicht mit einem falschen Lösungsweg ein richtiges Ergebnis erreichen.

Das ist schon sehr naiv. Auch falsche Lösungswege können unter Umständen zu einem richtigen Ergebnis führen: $$\frac{16}{64}=\frac{1\cancel{6}}{\cancel{6}4}=\frac{1}{4}.$$ Die Rechnung und der Ansatz sind durchaus in Ordnung, da die algebraischen Umformungen ja stimmen und man somit eben auch alle komplexen Nullstellen erhält. Auch kommt man hier ohne komplexe Zahlen aus, da man eben \(N^2=-1\) direkt substituieren kann. Aus mathematischer Sicht also unproblematisch. Aus didaktischer Sicht allerdings nicht, denn derjenige, der komplexe Zahlen nicht kennt (steht nicht im Lehrplan), wird sagen, dass die Gleichung \(N^2=-1\) in \(\mathbb{R}\) keine Lösung besitzt und der Ansatz daher nicht zielführend ist. Man setzt beim Nullstellenansatz ja eigentlich voraus, dass \(N\in\mathbb{R}\) gilt und die genannte Gleichung führt dann eben zu einem Widerspruch. Das ist durchaus anzumerken.

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Ansonsten kann ich ja nicht mit einem falschen Lösungsweg ein richtiges Ergebnis erreichen.

Natürlich geht das.

Und verfehlt ist diese Antwort, weil es eine Aufgabe im Reellen ist, die auch im reellen gelöst werden kann und sollte (weil ansonsten didaktisch verfehlt, falls Dich dieser Aspekt interessiert).

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Wenn ich dich richtig verstanden habe, ist mein Ansatz zur Lösung völlig verfehlt ,und ich kann diese Aufgabe nur in der Art und Weise lösen, wie es schon 2014 geschehen ist ?

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Hast Du falsch verstanden.

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...Aus didaktischer Sicht allerdings nicht, denn derjenige, der komplexe Zahlen nicht kennt (steht nicht im Lehrplan), wird sagen, dass die Gleichung \(N^2=-1\) in \(\mathbb{R}\) keine Lösung besitzt und der Ansatz daher nicht zielführend ist....

Wie komme ich nun nun aus diesem Dilema heraus, zumal ich ja ganz am Anfang gar nicht weiß, ob es zu  \(N^2=-a\) mit \(a>0\) kommt. Ich hatte schon manche Antworten gefertigt, wo es nicht zu dem Problem gekommen ist.

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Indem Du Dir gründlich klar machst, wann und warum Du mit der Nullstellenform arbeiten kannst. Hier nicht.

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Ein Ansatz, wenn das Faktorisieren besprochen wurde, könnte doch wie folgt lauten

f(x) = a·(x - 3)·(x + 3)·(x^2 + b)

Dabei könnte x^2 + b auch weitere Nullstellen geben oder auch nicht, wenn b eben positiv ist.

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Das Faktorisieren mittels Horner-Schema oder Polynomdivision ist aber schon weitgehendst aus dem Lehrplan verschwunden.

Von daher sollte man um solche Ansätze wohl eher einen Bogen machen und nicht verwenden.

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Es ist eigentlich schade, dass so viel verloren geht.