Funktionsgleichung 4. Grades aufstellen

Question

\( f(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \)

\( f(x)=4 a x^{3}+3 b x^{2}+2 c x+d \)

\( f^{\prime}(x)=12 a x^{2}+6 b x+2 c \)

Der Graph G der ganzrationalen Funktion 4. Grades verläuft in einem kartesischen Koordinatenstem symmetrisch zur Ordinatenachse und schneidet die Abszissenachse im Punkt N \( (3 / 0) \). Die Tangente an den Graphen G, im Punkt P(1/4) ist parallel zur Geraden mit der Gleichung \( 3 x-y=0 \)

Eigenschaften des Graphen	Umsetzung
Symmetrisch zur y-Achse	\( f(x)=f(-x) \)
Nullstelle \( \mathrm{N}(3 / 0) \)	\( f(3)=0 \)
Tangente in \( P(1 / 4) \) ist parallel zur Geradengleichung \( 3 x-y=0 \) \( y = 3 x \)	\( f^{\prime}(1)=3 \) \( f(1)=4 \)

Ich bräuchte bei dieser Aufgabe die 5. Bestimmungsgleichung. Den Ansatz für 4 Gleichungen habe ich bereits gefunden. Aber für eine Funktionsgleichung 4. Grades brauche ich 5 Gleichungen (?).  Für die Tangente kann man ja zwei Gleichungen aufstellen, aber dann fehlt trotzdem noch eine.

Answer 1

Hi,

Bedenke die Symmetrie: y = ax^4+bx^2+c ;)

Es braucht nur 3 Gleichungen und die hast Du bereits ;).


Zur Kontrolle:

Ich komme auf

f(x) = -0,25x^4 + 2x^2 + 2,25


Grüße

Answer 2

 

aus der Achsensymmetrie kannst Du zwei weitere Informationen gewinnen:

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d

f(3) = 0 | 81a + 27b + 9c + 3d + e = 0

f(-3) = 0 | 81a - 27b + 9c - 3d + e = 0

f(1) = 4 | a + b + c + d + e = 4

f(-1) = 4 | a - b + c - d + e = 4

f'(1) = 3 | 4a + 3b + 2c + d = 3

a = -0,25

b = 0

c = 2

d = 0

e = 2,25

f(x) = -0,25x⁴ + 2x² + 2,25

Die Tangente habe ich nicht korrekt angelegt :-)

 

Besten Gruß