Gleichungssystem der Lagrange-Multiplikation aufstellen

Question

Zu maximieren sei die Funktion f:ℝ³ -> ℝ, f(x,y,z) = 5xyz² unter der Nebenbedingung g(x,y,z) = x²+y²+z²-1=0

Stellen sie das Gleichungssystem der Lagrange-Multiplikation auf. Es gilt

5* x^ayz² = 2λx

5* xy⁰z^b = 2λy

c*5*xyz = 2λz

mit a=_____,  b=______,  c=_______

Ich hoffe jemand, kann mir sagen, wie ich diese Aufgabe zu berechnen habe.

Answer 1

Aloha :)

Du sollst die Funktion \(f(x;y;z)\) unter der Nebenbedingung \(g(x;y;z)\) maximieren: $$f(x;y;z)=5xyz^2\quad;\quad g(x;y;z)=x^2+y^2+z^2-1\stackrel!=0$$

Nach Lagrange muss im Extremum der Gradient der Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein:

$$\operatorname{grad}f(x;y;z)=\lambda\operatorname{grad}g(x;y;z)\implies\begin{pmatrix}5yz^2\\5xz^2\\10xyz\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}2x\\2y\\2z\end{pmatrix}$$

Daraus kannst du die Parameter ablesen:$$5x^0yz^2=2\lambda x\implies a=0$$$$5xy^0z^2=2\lambda y\implies b=2$$$$2\cdot5xyz=2\lambda z\implies c=2$$

Answer 2

Ganz verstehe ich nicht

unten hast du die 3 partiellen Ableitungen der Funktion  was hindert dich L= f(x,y,z)-λ*(x^2+y^2+z^2)  nach x, y und z abzuleiten und = 0 zu setzen? dabe entstehen dann a, b, c

Gruß lul