die abschnittsweise definierte Funktion f an der Verbindungsstelle stetig, differenzierbar und krümmungsruckfrei ist

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die abschnittsweise definierte Funktion f an der Verbindungsstelle stetig, differenzierbar und krümmungsruckfrei ist

F(x) = { x^2   Für x kleiner oder gleich 1 }

    { 2x-1. für x > 1}

Problem/Ansatz:

Kann jemand mir bei dieser Aufgabe helfen, das ist ein neues Thema und ich kann das nicht ..

Answer 1

hallo

du musst nachprüfen ob 1. die funktionswerte der 2 Funktionen bei x=1 gleich sind, dann ist die Gesamtfunktion stetig. 2. ob die erste Ableitung gleich ist, dann ist sie differenzierbar. 3, ob die zweite Ableitung gleich ist, dann ist es rückfrei.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$F(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2 &\text{für }x\le1\\2x-1 & \text{für } x>1\end{array}\right.$$

1) Stetigkeit: Da Polynome immer stetig sind, ist die Funktion für \(x\le1\) und für \(x>1\) stetig. Wir müssen noch prüfen, ob an der "Schnittstelle" \(x=1\) die Funktionswerte identisch sind:$$\lim\limits_{x\nearrow1}F(x)=\lim\limits_{x\nearrow1}(x^2)=1\quad;\quad\lim\limits_{x\searrow1}F(x)=\lim\limits_{x\searrow1}(2x-1)=1$$Die Funktion ist stetig bei \(x=1\).

2) Diffenzierbarkeit: Da Polynome immer differenzierbar sind, ist die Funktion für \(x<1\) und für \(x>1\) differenzierbar. Da die Funktion bei \(x=1\) stetig ist, reicht es zu prüfen, ob die links- und die rechtsseitige Ableitung bei \(x=1\) identisch sind.$$\lim\limits_{x\nearrow1}F'(x)=\lim\limits_{x\nearrow1}(2x)=2\quad;\quad\lim\limits_{x\searrow1}F'(x)=\lim\limits_{x\searrow1}(2)=2$$Die Funktion ist differenzierbar bei \(x=1\).

3) Ruckfreiheit: Hier ist gefragt, ob das Krümmungsverhalten bei \(x=1\) von beiden Seiten kommend gleich ist:$$\lim\limits_{x\nearrow1}F''(x)=\lim\limits_{x\nearrow1}(2)=2\quad;\quad\lim\limits_{x\searrow1}F''(x)=\lim\limits_{x\searrow1}(0)=0$$Die Krümmung erfährt bei \(x=1\) einen Ruck. Für \(x<1\) ist die Funktion lingsgekrümmt, für \(x>1\) hat die Funktion keine Krümmung (ist eine Gerade). Beim Übergang ruckelt es ;)