Sei f(x):= 2 cos x + sin (2x). Bestimme Nullstellen von f' und Extrema im Intervall [0, 2pi]

Question

Wir defininieren f:R->R durch f(x):= 2cosx+sin(2x).

Wieviele Nullstellen hat die Funktion f '   im Intervall [0,2pi] ?

Sind die Nullstellen von f ' auch Stellen, an denen f sein Maximum bzw. Minimum annimmt?

 

Hoffe aucf Lösung und Erklärung(Schritte)

Comments

Die Nullstellen gibt's schon beinahe bei:

https://www.mathelounge.de/907/nullstellen-berechnen-trigonometrische-funktion-cos-sin

Beachte die Doppelwinkelformel: sin(2x) = 2 sinx cos x

Answer 1

Ich berechne mal die Stellen mit der Ableitung = 0

f(x):= 2cosx+sin(2x)

f '(x) = - 2 sinx + 2*cos(2x) = 0

2 cos (2x) = 2 sin x                          |Additionstheorem für cos(x+x)

2 (cos² x - sin² x) = 2 sin x                  |cos² x = 1 - sin² x

2( 1 - 2 sin² x) = 2 sinx             |:2

1 - 2 sin² x =  sin x

0 = 2 sin² x +  sinx - 1

sin x = 0.25 * (-1 ±√(1 +8)) =

sin x = 0.25 * (-1 ± 3)  =    0.5 und -1

       

Aus + in ± folgt: x₁ = 30° = Pi/6 = 0.524 RAD und x₂ = 5 Pi /6 = 150° = 2.618 RAD, x₃ = 1.5 Pi = 270° = 4.72 RAD

 

f '(x) = - 2 sinx + 2*cos(2x) = 0

f ' ' (x) = - 2 cos x - 2*2 sin (2x)

x₁ und x₂ einsetzen gibt nicht 0. Deshalb handelt es sich um Extremalstellen.

x₃ eingesetzt gibt aber wieder 0. Durch Testen in f(x) mit 2 Werten ganz nahe bei x₃ ist klar, dass die Funktion auf beiden Seiten von x₃ steigt. Somit gibt's dort kein lokales Extremum. Es liegt ein Terrassenpunkt vor.

f' hat somit 3 Nullstellen im Intervall [0, 2Pi)

Die Nullstellen von f kannst du mit der Lösung der ähnlichen Aufgabe bestimmt selber finden.

Als Kontrolle noch ein Graph von f(x):

 

 

 

 

Comments

Bim Schritt von 2( 1 - 2 sin2 x) = 2 sinx zu

1 - sin2 x = 2 sin x hast du aber das Dividieren durch 2 auf der rechten Seite vergessen, oder?

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Ich hab da mal korrigiert. Stimmt's jetzt?