Wie lauten die ganzen Zahlen R, S, T und U?

Question

Aufgabe:

Knobelaufgabe

Problem/Ansatz

1. Die ganzen Zahlen S, T, U erfüllen die Gleichung S*U+1=S*T+6

2. T und U unterscheiden sich genau um 1

3. R, S, T beinhalten die Gleichung R*S+1=T

4. R und T müssen Primzahlen sein

Wie lauten die ganzen Zahlen R, S, T und U ??

Comments

R=2, S=5, T=11 und U=12

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Wie kommt man systematisch drauf?

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Wie kommt man systematisch drauf?

$$R\cdot S + 1 = T \space\land \space R,T \in \mathbb P \space \land \space S \in \mathbb Z \implies S \gt 0 \\ \begin{aligned}S\cdot U+1&=S\cdot T+6\\S(U-T) &= 5 \space\land\space |U-T|=1 \\&\implies U=T+1, \space S = 5\end{aligned}\\ 5R+1= T \space\land\space R,T \in \mathbb P \implies R=2 \\ \dots \implies T = 11, \space U=12$$Bem. zu \(5R+1=T\): eine der Zahlen muss gerade und die andere ungerade sein. 2 ist die einzige gerade Primzahl.

Answer 1

S*U+1=S*T+6

T und U unterscheiden sich genau um 1

Also T=U+1 oder T=U-1

--> S*U+1=S*U+S+6 oder S*U+1=S*U-S+6

--> S=-5 oder S=5

R*S+1=T

--> -5*R+1=T oder 5*R+1=T

R und T Primzahlen:

Wenn R ungerade, dann T gerade und umgekehrt. Da es nur eine gerade Primzahl, nämlich 2, gibt, ist R=2 oder T=2.

R=2 → T=11 (Die anderen Möglichkeiten gehen nicht auf.)

R*S+1=T → S=5

S*U+1=S*T+6

5*U+1=5*11+6

 --> U=12

Also

R=2, T=11, S=5, U=12

:-)

Answer 2

S*U+1=S*T+6

<=>  S*U-S*T = 5

<=>  S*(U-T) = 5

also S=5 oder S=-5  wegen :   T und U unterscheiden sich genau um 1

R*S+1=T ==>   T ist um 1 größer als ein Vielfaches von 5
                        und T ist Primzahl.

Da Primzahlen üblicherweise nicht negativ sind, bleibt also T=5

und wenn man mal die Primzahlen sucht, die um 1 größer

als ein Vielfaches von 5 sind, kommt man auf

11,31,41,etc

2*5+1=11  Es geht also mit R=2 S=5  T=11 (also U=12).

6*5+1=31

8*5+1=41

und dann müsste man mal schauen ob es auch noch andere

Primzahlen gibt, für die das geht.