Rechnung von Summenzeichen (Reihen)

Question

ich lerne gerade das Thema Reihen und habe dazu diese beiden Rechnungen vorliegen.

Wie kommt man denn bei beiden jeweils von der Linken auf die rechte Seite?

Liebe Grüße

Answer 1

Aloha :)

Das Stichwort heißt "Indexverschiebung":

$$\phantom{=}\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac1i-\frac{1}{i+1}\right)=\sum\limits_{i=1}^n\frac1i-\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i+1}=\sum\limits_{i=1}^n\frac1i-\sum\limits_{i=2}^{n+1}\frac{1}{i}$$$$=\left(\frac11+\sum\limits_{i=2}^n\frac1i\right)-\left(\sum\limits_{i=2}^n\frac1i+\frac1{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$$

Comments

Hallo,

danke für deine Antwort :)

Könntest du mir das auch bitte an der zweiten Aufgabe erklären?

Mit 2 ist die Reihe wohl auch beschränkt..

Verstehe auch gar nicht wie man am Ende auf die 2 kommt..

Könntest du mir bitte diese beiden Sachen auch noch kurz erklären?

Das wäre super von dir:)

Liebe Grüße

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Wenn du in der gerade gezeigten Formel \((n-1)\) anstatt \(n\) einsetzt:

$$\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(\frac1i-\frac1{i+1}\right)=1-\frac{1}{(n-1)+1}=1-\frac1n$$

und noch auf beiden Seiten \(1\) addierst:

$$1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(\frac1i-\frac1{i+1}\right)=1+1-\frac1n<2$$

bist du sofort fertig ;)