allgemeine Lösung von Matrix/LGS bestimmen

Question

Hallo, ich soll die allgemeine Lösung von $$\left(\begin{array}{ccccccc|c} 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ bestimmen.

Dabei habe ich erst einmal so angefangen, mir das in einem LGS aufzuschreiben:

0a+1b+2c+0d+3e+0f-2g=0
0a+0b+0c+1d+4e+0f+3g=0
0a+0b+0c+0d+0e+1f-1g=0

Doch irgendwie komme ich da nicht weiter, da jede Zeile mehrere Unbekannte mehr als andere hat. Dass f = g ist ist klar. Aber wie macht man jetzt weiter?
Kann es sein, dass ich die Aufgabe komplett falsch verstanden habe? Mehr gab es dazu nicht an Informationen.

Danke im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Hier brauchst du eigentlich gar nichts zu rechnen. Schau dir mal bitte die Spalten an, die eine \(1\) und sonst nur \(0\)en enthalten:

$$\left(\begin{array}{rrrrrrr|r}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7\\\hline0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{array}\right)$$Mit diesen kannst du \(x_2\), \(x_4\) und \(x_6\) durch alle anderen Koordinaten ausdrücken:$$x_2=-2x_3-3x_5+2x_7$$$$x_4=-4x_5-3x_7$$$$x_6=x_7$$Damit hast du die 3 Gleichungen reduziert und kannst die Lösungsvektoren angeben:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\\x_7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\-2x_3-3x_5+2x_7\\x_3\\-4x_5-3x_7\\x_5\\x_7\\x_7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-2x_3\\x_3\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-3x_5\\0\\-4x_5\\x_5\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\2x_7\\0\\-3x_7\\0\\x_7\\x_7\end{pmatrix}$$$$\vec x=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\-2\\1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_5\begin{pmatrix}0\\-3\\0\\-4\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_7\begin{pmatrix}0\\2\\0\\-3\\0\\1\\1\end{pmatrix}$$Damit hast du auch zugleich eine Basis für den Kern der Abbildung erhalten.

Comments

Könntest du mir bitte bei meiner aktuellen Frage helfen?

Geht um die Berechnen von Eigenwerten und Eigenvektoren von einer 3x3 Matrix.

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Vielen Dank!

Answer 2

Also sehen die Lösungen schon mal so aus

(a,b,c,d,e,f,f)

0a+0b+0c+1d+4e+0f+3g=0 sagt dann:  

0a+0b+0c+1d+4e+0f+3f=0

       ==>   d = -4e -3f also hast du

(a,b,c,-4e -3f,e,f,f)

und mit

0a+1b+2c+0d+3e+0f-2g=0 wird daraus

1b+2c+3e+0f-2f=0

also b= -2c - 3e + 2f

somit sehen die Lösungen so aus

(a, -2c - 3e + 2f ,c,-4e -3f,e,f,f)´oder auch so

a*(1, 0 ,0,0 0,0,0)+c*(0, -2 ,1,0,0,0,0)+e*((0,  - 3 ,0,-4,1,0,0)+f*(0,2 ,0,0,0,1,1)

Die Matrix hat 7 Spalten und der Rang ist 3, also

Lösungsraum 4-dimensional. Das passt !

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Danke für die Hilfe!