Aloha :)
Der Radius der Kugel sei \(r\).
Dann ist die Seitenlänge des Würfels \(a=2r\).
Das ist gleichzeitig die Höhe \(h=a=2r\) des Zylinders.
Der Durchmesser \(2R\) des Zylinders folgt mit Pythagoras aus der Seitenlänge des Würfels:$$2R=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt2\,a=\sqrt2\cdot2r\quad\implies R=\sqrt2\,r$$
Für das gesuchte Verhältnis gilt daher:
$$\rho=\frac{V_{\text{Kugel}}}{V_{\text{Zylinder}}}=\frac{\frac43\pi r^3}{\pi R^2h}=\frac{\frac43\pi r^3}{\pi \left(\sqrt2\,r\right)^2\,2r}=\frac{\frac43\pi r^3}{4\pi r^3}=\frac{1}{3}$$