Aloha :)
Du brauchst zuerst die Eigenwerte (EW) der Matrix:
$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{c}1-\lambda & -1 & 0\\-1 & 1-\lambda & 0\\0 & 0 & 2-\lambda\end{array}\right|=(2-\lambda)((1-\lambda)^2-1)$$$$\phantom{0}=(2-\lambda)(\lambda^2-2\lambda)=-\lambda(\lambda-2)^2$$Wir haben also den EW \(\lambda_1=0\) und den doppelten EW \(\lambda_2=2\).
Den Eigenvektor (EV) zum EW \(\lambda_1=0\) bestimmen durch Einsetzen von \(\lambda\) in die Matrix der Determinante und Bestimmung des Kerns:$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = &\text{Aktion}\\\hline1 & -1 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0 & +\text{Zeile 1}\\0 & 0 & 2 & 0 & \colon2\\\hline1 & -1 & 0 & 0 & \Rightarrow x_1=x_2\\0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\0 & 0 & 1 & 0 & \Rightarrow x_3=0\end{array}$$Aus der Lösungsmenge$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_1\\0\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$entnehmen wir den EV \(\vec v_1=(1;1;0)^T\).
Die EV zum EW \(\lambda_2=2\) bestimmen wir nun durch Einsetzen von \(\lambda_2=2\):$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = &\text{Aktion}\\\hline-1 & -1 & 0 & 0\\-1 & -1 & 0 & 0 & -\text{Zeile 1}\\0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\\hline1 & -1 & -1 & 0 & \Rightarrow x_1=-x_2\\0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\end{array}$$Aus der Lösungsmenge$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_2\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$entnehmen wir die beiden EV \(\vec v_2=(-1;1;0)^T\) und \(\vec v_3=(0;0;1)^T\) .
Damit ist die Diagonalisierung klar. Die Eigenvektoren schreiben wir als Spalten in eine Matrix:
$$S\coloneqq\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\quad;\quad S^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12 & \frac12 & 0\\[1ex]-\frac12 & \frac12 & 0\\[1ex]0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$und berechnen damit:$$D=S^{-1}\cdot A\cdot S=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$
