Fixpunkt bestimmen. Bsp. 1) f(x) = √x ; 2) g(x) = tan(x) x∈ (π/2, π/2).

Question

rauche ganz hilfe und würde mich auf antworten freuen

Fixpunkt bestimmen der folgenden Funktion.


1) f(x) = √x


2) g(x) = tan(x) x∈ (π/2, π/2).


3) h(x) = 3/2+x


ausführliche Rechenweg notwendig.

Answer 1

Es muss gelten: f ( x ) = x , also:

a)

√ x = x

<=> x = x ²

<=> ( x - x ² ) = 0

<=> x ( x - 1 ) = 0

<=> x = 0 oder x - 1 = 0

<=> x = 0 oder x = 1

Die Funktion f ( x ) hat also zwei Fixpunkte, x1 = 0 und x2 = 1

 

b) Vermutlich ist gemeint: x ∈ ( minus π/2 , π/2 )

Dann:

tan ( x ) = 0 ,  x ∈ ( - π/2 , π/2 )

<=> sin ( x ) / cos ( x ) = 0

<=> sin ( x ) = 0

<=> x = arcsin ( 0 )

<=> x = 0

Die Funktion g ( x ) hat im Intervall ( - π/2 , π/2 ) also genau einen Fixpunkt: x = 0

 

c)

Vermutlich ist gemeint: h ( x ) = 3 / ( 2 + x )

Dann:

3 / ( 2 + x ) = 0

Ein Bruch nimmt genau dann ( dann und nur dann) den Wert 0 an, wenn sein Zähler den Wert 0 annimmt, daher:

<=> 3 = 0

Das ist ein immer unwahre Aussage, es gibt also keine Lösung und das bedeutet, dass h ( x ) keinen Fixpunkt hat.

 

Sollte statt dessen h ( x ) = ( 3 / 2 ) + x gemeint sein, dann:

( 3 / 2 ) + x = 0

<=> x = - 3 / 2