Was ist die Zerfallskonstante anhand dieses Beispiels? Radionuklid Molybdän

Question

Aufgabe:

Das Radionuklid Molybdän \( { }^{99} \) Mo hat eine Halbwertszeit von 66 Stunden.

Bestimme die Zerfallskonstante \( \lambda \) auf vier Stellen genau! (Zerfallsgesetz \( \left.y(t)=y_{0} \cdot e^{-\lambda t}\right) \)

Ansatz/Problem:

Was ist die Zerfallskonstante anhand dieses Beispiels?

Answer 1

Aloha :)

Mit der Halbwertszeit \(T=66\,\mathrm h\) kann man das Zerfallsgesetz so formulieren:$$y(t)=y_0\cdot\left(\frac12\right)^{t/66\,\mathrm h}=y_0\cdot2^{-t/66\,\mathrm h}$$Du erkennst sofort, dass$$y(0\,\mathrm h)=y_0\quad;\quad y(66\,\mathrm h)=y_0\cdot\frac12\quad;\quad y(132\,\mathrm h)=y_0\cdot\frac14\quad;\quad\cdots$$Du kannst nun ausnutzen, dass sich die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion gegenseitig kompensieren, d.h.\(x=e^{\ln(x)}\) und den Term umschreiben:$$y_(t)=y_0\cdot e^{\ln\left(2^{-t/66\,\mathrm h}\right)}=y_0\cdot e^{-\frac{t}{66\,\mathrm h}\ln(2)}=y_0\cdot e^{-\frac{\ln(2)}{66\,\mathrm h}\,t}$$Die Zerfallskonstante ist daher:$$\lambda=\frac{\ln(2)}{66\,\mathrm h}\approx\frac{0,01050}{\mathrm h}$$

Answer 2

Natürlich hängt die Zerfallskonstante auch von der Einheit von t ab. Darüber ist nichts ausgesagt. Allerdings nehme ich mal an, das es sich auch um Stunden handeln soll und nicht um Tage.

y(t) = 1·0.5^(t/66) = 1·e^(- 0.01050·t)

Answer 3

0,5= e^(k*66)

k*66= ln0,5

k= ln0,5/66 = -0,0105

-> y(t) = y0*e^(-0,0105t)

PS:

ln0,5= ln(1/2) = ln1-ln2 = 0-ln2 = -ln2