Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Das zentrale Problem dieser Aufgabe ist es, eine Geradengleichung von Punkt \(A(2|2|4)\) zu Punkt \(B(4|4|2)\) aufzustellen. Von \(A\) nach \(B\) erhöht sich die x-Koordinate um \(2\), die y-Koordinate auch um \(2\) und die z-Koordinate vermindert sich um \(2\). Mathematisch formal berechnen wir den Richtungsvektor von \(A\) nach \(B\) so:$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}$$Damit haben wir die Geradengleichung auch schon gefunden:
$$g\colon\;\vec x=\vec a+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}$$Bevor wir weitergehen, müssen wir uns noch kurz Gedanken zum Parameter \(\lambda\) machen. Für \(\lambda=0\) erhalten wir Punkt \(A\), für \(\lambda=1\) erhalten wir den Punkt \(B\). Alle Punkte mit \(0\le\lambda\le1\) liegen also auf der Strecke \(\overline{AB}\). Punkte mit \(\lambda<0\) liegen links von Punkt \(A\) und Punkte mit \(\lambda>1\) liegen rechts von Punkt \(B\).
Wir prüfen nun die Punkte \(P(0|0|6)\), \(Q(3|3|3)\) und \(R(3|4|3)\) indem wir versuchen, ein passendes \(\lambda\) zu finden.
$$\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda_p\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}\quad\implies\quad\lambda_p=-1$$Der Punkt \(P\) liegt also auf der Geraden, denn wir haben ein passendes \(\lambda_p\) gefunden. Der Punkt \(P\) liegt aber nicht auf der Strecke \(\overline{AB}\), denn \(\lambda_p\) liegt nicht zwischen \(0\) und \(1\).
$$\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda_q\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}\quad\implies\quad\lambda_q=\frac12$$Der Punkt \(Q\) liegt also auf der Geraden, denn wir haben ein passendes \(\lambda_q\) gefunden. Der Punkt \(Q\) liegt sogar auf der Strecke \(\overline{AB}\), denn \(\lambda_q\) liegt zwischen \(0\) und \(1\).
$$\begin{pmatrix}3\\4\\3\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda_r\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}\quad\implies\quad\lambda_r\text{ ist nicht definierbar}$$Aus der Prüfung von Punkt \(Q\) wissen wir bereits, dass nur \(\lambda_r=\frac12\) in Betracht kommt, weil nur dafür die x- und die z-Koordinate zu \(3\) werden. Damit die y-Koordinate zu \(4\) wird, müsste \(\lambda_r=1\) gelten. Es gibt also kein \(\lambda_r\), das alle 3 Koordinatengleichungen erfüllt. Daher liegt der Punkt \(Q\) nicht auf der Geraden und damit erst recht nicht auf der Strecke \(\overline{AB}\).
