Lagebeziehungen | Vektoren

Question

Aufgabe: Ich habe ein Dreickeck mit der drei Punkten A(0|6|6), B(0|6|3) und C(3|3|0), und die Punkte P(2|2|2) Q(2|4|1) und R(2|5,5|4,5)

Ich soll nun rechnerisch überprüfen welche der Punkte P, Q und R auf den Seiten des Dreiecks liegen.

Problem/Ansatz:

… Da das dreieck ja 3 Punkte hat gibt es ja sogesagt die drei strecken: AB , AC und BC.

Muss ich jetzt für alle drei strecken das jeweils 3 mal überprüfen, also insgesamt 9 Rechnungen anfertigen?

Wenn ja, kann mir da jemand helfen? Ich komme gerade nicht weiter nach der ersten Strecke also AB, da hab ich nämlich raus, dass keiner der Punkte auf der strecke liegt kann das jemand überprüfen?

Comments

Da bei A und B die erste Koordinate 0 ist, haben auch alle Punkte auf AB als erste Koordinate eine 0, und deshalb liegt tatsächlich keiner der drei Punkte auf AB.

Muss ich jetzt für alle drei strecken das jeweils 3 mal überprüfen, also insgesamt 9 Rechnungen anfertigen?

Nach dem aktuellen Kenntnisstand hast du drei Rechnungen absolviert und musst nur noch 6 Rechnungen durchführen.

Tu es!

Answer 1

Da die Punkte P, Q und R alle die x-Koordinate 2 besitzen, vereinfacht sich die Überprüfung.

Q liegt auf BC:

$$ \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 3\\-3\\-3 \end{pmatrix} $$ $$ \overrightarrow{OB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 0+2\\6-2\\3-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\4\\1\end{pmatrix}=\overrightarrow{OQ}$$

Auf AB liegt keiner der Punkte, da die x-Koordinate gleich Null sein müsste.

Bleibt noch AC übrig.

$$ \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 3\\-3\\-6 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0+2\\6-2\\6-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\4\\2 \end{pmatrix}$$
Das passt zu keinem der drei Punkte.

Comments

aber bei AC kommt doch ein anderer Vektor raus der müsste doch gleich 2|5,5|4,5 sein und nicht 2|4|2

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Hallo Torsten,

Ich habe den Faktor vor AC so gewählt, dass als x-Wert 2 herauskommt. Das ergibt den Ortsvektor zum Punkt (2|4|2). Deshalb liegt R (und auch nicht P oder Q) auf der Strecke AC.

Answer 2

Hallo Torsten,

Muss ich jetzt für alle drei strecken das jeweils 3 mal überprüfen, also insgesamt 9 Rechnungen anfertigen?

Im Prinzip schon, aber man kann sich das Leben etwas erleichtern, indem man genauer hinschaut.

Bei den Punkten \(A\) und \(B\) ist die x-Koordinate =0.D.h. bei jedem Punkt, der auf einer Geraden durch \(A\) und \(B\) liegt, muss die x-koordinate genauso =0 sein. Das ist aber bei keinem der drei Punkte \(P\), \(Q\) und \(R\) der Fall.

Ich komme gerade nicht weiter nach der ersten Strecke also AB, da hab ich nämlich raus, dass keiner der Punkte auf der strecke liegt

folglich ist das richtig!

Nehmen wir uns dann die Strecke \(BC\) vor. Bei den drei Punkten \(P\), \(Q\) und \(R\) ist die x-Koordinate =2. D.h. wir müssen auf der Strecke \(BC\) nur den Punkt berechnen, wo \(x=2\) ist - also$$g_{BC}: \space x = B + t(C-B) = \begin{pmatrix} 0\\ 6\\ 3\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3\\ -3\\ -3\end{pmatrix}$$für \(t=2/3\) wird die x-Koordinate der Geraden =2$$x \left(t=\frac 23 \right) = \begin{pmatrix} 0\\ 6\\ 3\end{pmatrix} + \frac 23 \begin{pmatrix} 3\\ -3\\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 1\end{pmatrix} = Q$$und dies ist die Position von \(Q\). Und dies ist der einzige Punkt der auf \(BC\) liegt. Der Vollständigkeit halber sei noch erwähnt, dass das \(t\) im Intervall \([0;\, 1]\) liegen muss. Ansonsten läge der Punkt zwar auf der Geraden, aber außerhalb der Strecke.

Bei \(g_{ca}\) geht man genauso vor. Das überlasse ich jetzt Dir. Bestimme den Punkt von \(g_{ca}\), wo die x-Koordinate =2 wird und vergleiche das Ergebnis mit den drei Punkten.

Man kann natürlich auch alle Punkte in Geoknecht3D eingeben, dann 'sieht' man das Ergebnis. Klick auf das Bild, dann öffnet sich die Szene in Geoknecht3D.

Gruß Werner

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 Danke sehr für diese informative Antwort.