Aloha :)
Wenn du auf beiden Seiten der Gleichung$$N(t)=c\cdot a^t$$den natürlichen Logarithmus bildest:$$\ln\left(N(t)\right)=\ln\left(c\cdot a^t\right)=\ln(c)+\ln(a^t)=\ln(c)+t\cdot\ln(a)$$reichen dir 2 Punkte, um \(a\) und \(c\) zu bestimmen:
$$t=2\implies\ln N(2)=\ln(c)+2\cdot\ln(a)\implies\ln(242)=\ln(c)+2\ln(a)$$$$t=4\implies\ln N(4)=\ln(c)+4\cdot\ln(a)\implies\ln(293)=\ln(c)+4\ln(a)$$Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten:
$$\ln(293)-\ln(242)=2\ln(a)\implies\ln(a)=\frac{\ln(293)-\ln(242)}{2}\approx0,095617$$Wir setzen das Ergebnis für \(\ln(a)\) in die erste Gleichung ein:$$\ln(242)=\ln(c)+2\cdot0,095617\implies \ln(c)=\ln(242)-2\cdot0,095617\approx5,297703$$Damit haben wir die Konstanten gefunden:$$a=e^{\ln(a)}\approx1,1003\quad;\quad c=e^{\ln(c)}\approx199,88$$Die Funktionsgleichung lautet daher:$$N(t)=199,88\cdot 1,1003^t$$
~plot~ {2|242} ; {4|293} ; {6|354} ; {10|519} ; [[0|12|190|550]] ; 199,88*1,1003^x ~plot~
