Bestimmen Drehwinkel und Drehachse der folgenden Matrix: A .

Question

Hallo Leute, ich bin langsam echt am verzweifeln bei folgender Aufgabe. Wo liegt mein Fehler?

Bestimmen Drehwinkel und Drehachse der folgenden Matrix: A = \( \frac{1}{9} \) \( \begin{pmatrix} -7 & 4 & 4 \\ 4 & -1 & 8 \\ 4 & 8 & (-)1 \end{pmatrix} \).

korrektur der abschreibfehler in klammer

Meine Lösung:

A · A^T = \( \frac{1}{9} \) ·\( \begin{pmatrix} -7 & 4 & 4 \\ 4 & -1 & 8 \\ 4 & 8 & (-)1 \end{pmatrix} \) · \( \frac{1}{9} \) ·\( \begin{pmatrix} -7 & 4 & 4 \\ 4 & -1 & 8 \\ 4 & 8 & (-)1 \end{pmatrix} \) = \( \frac{1}{81} \) · \( \begin{pmatrix} 81 & 0 & 0 \\ 0 & 81 & 0 \\ 0 & 0 & 81 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) = I₃ ⇒ A∈SO(3).

det\( \begin{pmatrix} -7 & 4 & 4 \\ 4 & -1 & 8 \\ 4 & 8 & -1 \end{pmatrix} \) = 729, also Eigenwerte sind 1 und 9.

Für Eigenwert 9:

\( \begin{pmatrix} 16 & 4 & 4 \\ 4 & -10 & 8 \\ 4 & 8 & -10 \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \). Somit erhalten wir den Vektor V₁ = \( \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Nun orthonormalisieren:

e₁ = \( \frac{1}{||f₁||} \) · f₁ = \( \begin{pmatrix} \frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{2}{3} \end{pmatrix} \).

Zu diesem orthonormalisierten Vektor ergänzen wir zwei Vektoren zu einer Basis.

Ich habe mir die Vektoren \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) ausgesucht, sodass Basis = {\( \begin{pmatrix} \frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \)} unsere Drehachse ist.

So, jetzt müsste ich eigentlich nach Gram-Schmidt, die beiden anderen Vektoren normalisieren und mit denen den Drehwinkel ausrechnen. Leider kommen bei mir ganz komische Zahlen raus und die Determinante ergibt bei mir auch nicht 1.

Was habe ich falsch gemacht?

Danke für jede Antwort!:)

Comments

Bei der Eigenvektorbestimmung zu 9 muss es da nicht in der

Matrixposition (1,1) eigentlich -16 heißen?

---

Ja du hast Recht. Das ist aber trotzdem nicht mein Fehler

Answer 1

Also

eine Matrix hat weder Drehwinkel und noch Drehachse - eine lineare Abbildung evtl. schon ;-).

Ich denke das das Thema hier

https://www.mathelounge.de/869701/matrix-drehachse-drehwinkel-element-in-so-3

schon mal abgehandelt wurde...

könnte evtl. a33=-1 (-1/9) sein?

Comments

Danke für den Hinweis. Jedoch ist die Aufgabe lösbar von daher ist die Lösung falsch...

---

Welche Lösung?

Was gilt jetzt? Für

\(\small A:= \left(\begin{array}{rrr}\frac{-7}{9}&\frac{4}{9}&\frac{4}{9}\\\frac{4}{9}&\frac{-1}{9}&\frac{8}{9}\\\frac{4}{9}&\frac{8}{9}&\frac{-1}{9}\\\end{array}\right)\)

wäre

det(A)=1 und nicht 729

die Eigenwerte sind 1 und zweilmal -1

der eigenvektor zu 1, also die Drehachse e₁=(1,2,2)

damit Drehmatrix (↦*)

\(\scriptsize R_n(a, n1, n2, n3) \, := \\ \, \left(\begin{array}{rrr}n1^{2} \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + \operatorname{cos} \left( a \right)&n1 \; n2 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) - n3 \; \operatorname{sin} \left( a \right)&n1 \; n3 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + n2 \; \operatorname{sin} \left( a \right)\\n2 \; n1 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + n3 \; \operatorname{sin} \left( a \right)&n2^{2} \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + \operatorname{cos} \left( a \right)&n2 \; n3 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) - n1 \; \operatorname{sin} \left( a \right)\\n3 \; n1 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) - n2 \; \operatorname{sin} \left( a \right)&n3 \; n2 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + n1 \; \operatorname{sin} \left( a \right)&n3^{2} \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + \operatorname{cos} \left( a \right)\\\end{array}\right)\)

\( R_n\left(180^{\circ}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) = A \)

der Drehwinkel φ=180°

Rückmeldung wäre zu Abwechslung nicht schlecht, dann bessere ich in Deiner Fragestellung auch die Abschreibfehler aus - damit eine sinnvolle Aufgabenstellung entsteht?

Answer 2

Ich bekomme bei A*A^T aber

1           0           8/81 
0          1           16/81
 8/81     16/81     1

???