Gibt es eine Funktion zu dieser Fourier-Reihe?

Question

Aufgabe:

Gibt es eine quadratisch-integrierbare Funktion auf [-π,π] , mit der Fourier-Reihe:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) \( \frac{sin(nx)}{\sqrt{n}} \)

Problem/Ansatz:

Also ich dachte mir, dass wenn ich zum Beispiel x=π wähle, dann würde die reihe ja konvergieren (Minorantenkriterium, harmonische Reihe).
Und da die Reihe da konvergiert, kann ich keine Funktion finden zu der diese Reihe eine Fourier-Reihe ist.

Nun meine Frage: ist das ein legitimer Schluss, oder übersehe ich da was?
Denn da a_n = a₀ = 0 ist und die Reihe für eine ungerade Funktion sein muss passt ja.
Und wenn ich an eine Funktion wie tan(x/2) denke, dann könnte sie ja eigentlich doch eine Fourier-Reihe sein.
Auch weiß ich nicht wirklich was mit dem quadratisch-integrierbar anfangen zu können.

Kann mir da eventuell jemand weiter helfen? Ich wäre sehr dankbar dafür :)

Answer 1

Hallo,

bei einer quadratisch-integrierbaren Funktion gilt, dass die Fourierkoeffizienten quadratisch summierbar sind. Bei Deiner Aufgabe müsste also gelten:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2 < \infty $$

Gruß Mathhilf