Polynomraum und Unterräume

Question

Aufgabe:

$$ \text{ Sei } \mathbb{K}\text{ ein Körper } $$

$$ \text{ a) Zeige dass } W = \left\{p \in \mathbb{K_3}[x] : p(1) = 0\right\}{} \text{ ein Unterraum von } \mathbb{K_3}[x] \text{ ist } $$

$$ \text{ b) Finde eine Basis für W und ergänze diese zu einer Basis für } \mathbb{K_3}[x]$$

$$ \text{ c) Wieviele verschiedene Elemente gibt es im Vektorraum } (Z_{13})_3[x] $$

Problem/Ansatz:

a) Hier weiß ich nicht wie ich die Notation mit dem p(1) = 0 deuten soll, wie wirkt sich das auf das Polynom aus?

b) Hier müsste mir erst a) klar sein.

c) Was ist mit den Elementen gemeint? die 0 - 12, was 13 wäre oder der Polynomraum, welcher mit x² x 1, 3 Elemente hätte.

Wäre für einen erklärenden Lösungsweg dankbar

vg coffee.cup

Answer 1

a)  p(1) = 0 bedeutet: Wenn du ein Polynom

p(x)  =  ax^3 + bx^2 +cx + d hast, dann gilt a+b+c+d = 0 oder

eben auch d = -a-b-c.

Die Polynome sehen also alle so aus

p(x)  =  ax^3 + bx^2 +cx -a-b-c.

Du kannst in dieser Form nachrechnen, dass die einen

Unterraum bilden, es geht aber auch direkt mit p(1)=0.

Wenn du nämlich p und q hast mit p(1)=0 und q(1)=0

dann gilt ja (p+q)(1) nach Def. der Summe von Polynomen

       =p(1)+q(1)   nach Vor

           =0+0

             =0    Also ist die Summe auch aus der gegebenen Menge

und   für k∈K ist  k*p ist auch wieder aus der Menge, wenn p es ist.

Das 0-Polynom erfüllt die Bedingung auch.

Damit ist es ein Unterraum.

Für b) nimmst du am besten meine Eingangsbemerkung und betrachtest

x^3-1 ,  x^2-1   und  x-1

Answer 2

Zu c)

Da der Vektorraum die Basis \(1,x,x^2,x^3\) besitzt, ist seine Dimension \(4\).

Daher besitzt er \(|\mathbb{Z}_{13}|^4=13^4\) Elemente.