Prüfen, ob Abbildung linear ist

Question

Wie kann ich prüfen, ob die Abbildung linear ist?

f(x,y,z)=(x-y,y*z)

Ich weiß, dass man die Homogenität/Additivität verwenden muss, aber weil es im R^3 ist, verstehe ich es nicht ganz.

Ich hoffe auf eine Antwort mit Rechenschritten :)

Answer 1

Sie ist nicht linear. nehme z.b.

(1,1,1) als Vektor , dann siehst du, dass die Addition nicht abgeschlossen ist, denn

f(1,1,1)+f(1,1,1)=(0,1)+(0,1)=(0,2)

und f((1,1,1)+(1,1,1))=f(2,2,2)=(0,4)

(0,2) ist nicht (0,4)

also gilt hier nicht immer

f(x1,y1,z1)+f(x2+y2+z2)=f(x1+x2,y1+y2,z1+z2)

also ist die Abbildung nicht linear

Answer 2

Wie ist es denn mit

\(f(2\cdot (0,1,1))\) und \(2\cdot f(0,1,1)\).

Sollten die nicht bei Linearität gleich sein?

Comments

Sollten die, tuen sie aber nicht.

Da f(2*(0,1,1))=f(0,2,2)=(-2,4)

und da 2*f(0,1,1)=2*(-1,1)=(-2,2) sind

und sie sind nicht gleich

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genau ;-) \(\;\;\;\;\;\)