nicht ausgeartet symmetrische Bilinearform

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper mit char(K)=2. V ist ein K-Vektorraum mit dim_K(V)=n also endlich dimensional.

(-,-):V×V→K ist symmetrische Bilinearform.

v₁,....v_n ist eine Basis von V mit (v_i,v_j)=δ_ij.(kronecker delta)

zu zeigen: für w₁,...,w_n∈K gilt:  (w₁+....+w_n)^2 = w₁²+......+w_n²     und (-,-) ist nicht ausgeartet.

Problem/Ansatz:

ich weiss, dass alle Elementen in V sind eine Linearkombination von v₁,.....,v_n. aber wie beweist man weiter?

hat jemand eine Idee oder gute Ansatz?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Das Ausmultiplizieren von \((w_1+\cdots+w_n)^2\) liefert

\(\sum_{i=1}^nw_i^2+\sum_{i\neq j}w_iw_j=\sum_{i=1}^nw_i^2+2\sum_{1\leq i \lt j \leq n}w_iw_j=\)

\(=w_1^2+\cdots + w_n^2\), da \(2=0\) ist.

Eine symmetrische Bilinearform ist genau dann nicht ausgeartet, wenn

die Determinante ihrer Gram-Matrix \(\neq 0\) ist.

Die Gram-Matrix in unserem Falle ist die \(n\times n\)-Einheitsmatrix und hat

die Determinante \(1\neq 0\).

Comments

Hallo,

w ist aus K nicht V, kann man direkt schreiben: w_iw_j=0 für i≠j?

Die Idee ist mir noch unklar. Könnten Sie bitte bisschen genauer erklären.

Vielen Dank!

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Die \(w_i\) sind in der Tat Körperelemente.

Aber warum sollte \(w_iw_j=0\) sein,

wenn es sich doch um beliebige Körperelemente handelt.

Ansonsten mach dir doch ein Beispiel, um mein Argument zu verstehen:

\((w_1+w_2)^2=w_1^2+w_1w_2+w_2w_1+w_2^2=w_1^2+w_2^2+2\cdot w_1w_2=\)

\(=w_1^2+w_2^2+0\cdot w_1w_2=w_1^2+w_2^2\).

Bedenke, dass in deinem Körper \(2=0\) gilt.

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Achso, das habe ich vergessen.

Vielen Dank!