Wie berechnet man Funktionsgrenzwerte mit Wurzeln?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden Funktionsgrenzwerte (falls existent)!

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}) \)

Mein Vorgehen:

Das Problem ist: Ich weiss gar nicht wie man bei solchen Aufgaben vorgeht? Versucht man bei diesen Aufgaben das x zu eliminieren oder wie?

Answer 1

Aloha :)

Nutze die dritte binomische Formel und erweitere den Ausdruck wie folgt:

$$f(x)\coloneqq\sqrt{x+\sqrt x}-\sqrt{x-\sqrt x}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{\left(\sqrt{x+\sqrt x}-\sqrt{x-\sqrt x}\right)\left(\sqrt{x+\sqrt x}+\sqrt{x-\sqrt x}\right)}{\sqrt{x+\sqrt x}+\sqrt{x-\sqrt x}}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{\left(\sqrt{x+\sqrt x}\right)^2-\left(\sqrt{x-\sqrt x}\right)^2}{\sqrt{x+\sqrt x}+\sqrt{x-\sqrt x}}=\frac{\left(x+\sqrt x\right)-\left(x-\sqrt x\right)}{\sqrt{x+\sqrt x}+\sqrt{x-\sqrt x}}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{2\sqrt x}{\sqrt{x+\sqrt x}+\sqrt{x-\sqrt x}}=\frac{\frac{1}{\sqrt x}\cdot2\sqrt x}{\frac{1}{\sqrt x}\cdot\left(\sqrt{x+\sqrt x}+\sqrt{x-\sqrt x}\right)}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{2}{\left(\sqrt{\frac xx+\frac{\sqrt x}x}+\sqrt{\frac xx-\frac{\sqrt x}{x}}\right)}=\frac{2}{\left(\sqrt{1+\frac1{\sqrt x}}+\sqrt{1-\frac1{\sqrt x}}\right)}$$Jetzt kannst du den Grenzwert \(x\to\infty\) bilden:$$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\frac{2}{\left(\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}\right)}=\frac2{1+1}=1$$